Статистический критерий, статистическая область

Для проверки Н₀, используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное значение которой известно. Эту величину обозначают через U или Z, если она распределена нормально; F или v² - по закону Фишера; χ² - по закону «хи квадрат»; Т или t - по распределению Стьюдента.

Критической областью называют, совокупность значений критерия при которых Н₀ отвергается.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений), называют совокупность критерия при которой Н₀ принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критической области, то гипотезу отвергают; если наблюдаемое значение критерия принадлежит области покрытия гипотезы, то гипотезу принимают.

Критическая область и область покрытия гипотез – это интервалы, следовательно существует точка которая их разделяет.

Критической точкой (границей), называют точку определяющую критическую область от области принятия гипотез.

Различают:

1. Одностостороннюю критическую область

левостороннюю

правостороннюю

2. Двустороннюю критическую область

Механизм проверки (Критерий Фишера)

По данным выборок значений n_x и n_y, вычисляют наблюдаемое значение критерия как отношение большей дисперсии к меньшей:

Критическая область строится в зависимости от конкурирующей гипотезы. По таблицам распределения Фишера, по заданному уровню значимости α и вычисленным степеням свободы v_x, v_y находят табличное значение критерия:

n для альтернативной гипотезы Н₁: D_x > D_y

Fкр в зависимости от параметров Fкр (α, v_x, v_y)

n для альтернативной гипотезы Н1: D_x ≠ D_y

F_кр в зависимости от параметров F_кр (α/2, v_x, v_y)

Если F_наб >F_кр, то Н₀ отвергают.

Если F_наб <F_кр то нет оснований отвергать Н₀, предположение о том D_x, D_y, что принимается с уровнем α, в 95% случаях – с доверительной вероятностью.

Исправленную дисперсию обычно выражают через s² ее математическое ожидание равно генеральной дисперсии.

Пример.

По двум малым независимым выборкам объемов n_x=11 и n_y=14 из нормальных распределений найдены исправленные выборочные дисперсии S_x² =0.76 и S_y²=0.38. При уровне значимости α=0.05 проверить нулевую гипотезу Н₀: D_x = D_y о равенстве дисперсий при конкурирующей гипотезе Н₁:. D_x > D_y.

Решение: Найдем отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

F_набл = S_б² / S_м² = 0.76 / 0.38 = 2

По условию конкурирующая гипотеза имеет вид Н₁: D_x>D_y, поэтому критическая область – правосторонняя. По таблице критических точек распределения Фишера, по уровню значимости α=0,05 и числам степеней свободы k₁ = n_x – 1 = 11 – 1 = 10 и

K₂ = n_y – 1 = 14 – 1 = 13 находим критическую точку:

F_кр (α, k₁, k₂) = F_кр (0.05,10,13) = 2.67

Так как F_набл = 2. < Fкр = 2.67, то нет оснований отвергать Но о равенстве дисперсий. Другими словами, исправленные выборочные дисперсии различаются незначимо.