В.5. Элементарные функции

Функция называется явной, если она задана формулой вида y = f (x) (правая часть не содержит зависимой переменной).

Функция называется неявной, если она задана уравнением F (x, y) = 0, не разрешенным относительно зависимой переменной.

Пусть функция y = f (x) – функция от независимой переменной х с областью определения Х и областью значений Y. Поставим в соответствие единственное значение , при котором f (x) = y. Тогда полученная функция х = φ(у), определенная на промежутке Y с областью значений Х, называется обратной (обратную функцию также обозначают y = f ^-1(x)).

Для любой строго монотонной функции существует обратная функция. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х (биссектрисы 1-го и 3-го координатных углов).

Пример 2. Для функции у = 3 х найти обратную.

Функция у = 3 х монотонная (возрастающая), следовательно, она имеет обратную. Для того чтобы получить формулу обратной функции выразим переменную х через у:

. А затем полученную формулу запишем в привычном виде (поменяем х и у местами): - это и есть обратная функция к данной.

у у = х у = 3 х   О х

Пусть функция y = f (и) – функция переменной и определена на множестве U с областью значений Y, а переменная и – функция переменной х: и = φ(х), определена на множестве Х с областью значений U. Тогда заданная на множестве Х с областью значений Y функция y = f [φ(х)] называется сложной функцией (композицией функций, функцией от функции).

Например, у = cos(x ²+ x) – сложная функция, т.к. ее можно представить в виде, у = cos и, где и = x ²+ x.

Функции, построенные из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий и конечного числа операций образования сложной функции, называются элементарными.

Например, функция – элементарная (пример неэлементарной функции у = | x |).

Классификация функций. Элементарные функции делятся на:

1) Алгебраические (полученные с помощью конечного числа алгебраических действий над аргументом). К ним относятся:

· целая рациональная функция (многочлен): ;

· дробно-рациональная функция – отношение двух многочленов;

· иррациональная функция (в составе операций над аргументом есть извлечение корня).

2) Неалгебраические (или трансцендентные). К ним относятся: показательная, логарифмическая, тригонометрические, обратные тригонометрические.