В.1. Понятие множества

Раздел. Математический анализ

Тема 1. Множества и функции

В.1. Понятие множества

Множество – совокупность (собрание, набор) некоторых объектов.

Объекты, образующие множества, называются элементами (точками) данного множества.

Множества обозначаются прописными буквами латинского алфавита: А, В, С …, а элементы – строчными а, b, c… Принадлежность элемента а множеству А записывается следующим образом: . Запись означает, что элемент b не принадлежит множеству А.

Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается Ø. (например, множество действительных корней уравнения х ²+4=0 – пустое множество).

Если множество В состоит из части элементов множества А или совпадает с ним, то В называется подмножеством множества А (обозначается ).

Равные множества состоят из одних и тех же элементов.

Объединениеммножеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из данных множеств ().
Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из элементов, одновременно принадлежащих каждому из данных множеств ().
Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех элементов А, которые не принадлежат В (А \ B).	А \ B
Дополнениеммножества А, являющегося подмножеством В (), называется множество А С, состоящее из всех элементов В, которые не принадлежат А.	А С

Пример 1. а) Пусть даны два множества: А = {1, 2, 3, 4} и В = {2, 4, 5, 6}. Тогда их объединением будет множество = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; пересечением – = {2, 4}; разностью А \ B = {1, 3}, В \ А = {5, 6}.

б) Даны множества А = {1, 2, 3} и В = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Очевидно, что А является подмножеством В (). Тогда:

= {1, 2, 3, 4, 5, 6} = В; = {1, 2, 3} = А; В \ А = {4, 5, 6}; А ^С = {4, 5, 6}.

Множества, элементами которых являются действительные числа, называются числовыми. Например, числовыми являются множество натуральных чисел N, множество целых чисел Z, множество рациональных чисел Q, иррациональных I и множество действительных чисел R, которые связаны между собой следующим образом: , , R = Q I.

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой прямой, и наоборот, каждой точке числовой прямой соответствует действительное число.

Множество Х, элементы которого удовлетворяют неравенству a ≤ x ≤ b, называется отрезком [ a; b ]. Если элементы множества удовлетворяют неравенству a < x < b, то оно называется интервалом (а; b). Если же неравенствам a < x ≤ b, или a ≤ x < b, то – полуинтервалом (a; b ], [ a; b). Все указанные множества могут быть объединены одним термином – промежуток Х.