Четность и нечетность

Функция y = f (x) называется четной, если для любых значений х из области определения () f (– x) = f (x). График четной функции симметричен относительно оси О у. Например, функция у = х ² – четная, т.к. f (– x) = (– х)² = х ² = f (x).

Функция y = f (x) называется нечетной, если f (– x) = – f (x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Например, функция у = х ³ – нечетная, т.к. f (– x) = (– х)³ = – х ³ = – f (x).

Если функция не является ни четной, ни нечетной, то она называется функцией общего вида. Например, функция у = х ² + х ⁵ – общего вида.

2. Монотонность. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей) на промежутке Х, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее (меньшее) значение функции. Т.е. пусть х ₁, х ₂ Х и х ₂ > х ₁, тогда функция возрастает на промежутке Х, если f (х ₂) > f (х ₁) и убывает, если f (х ₂) < f (х ₁).

y y

f (x ₁) f (x ₁)

f (x ₂) f (x ₂)

О а х ₁ х ₂ b x О а х ₁ х ₂ b x

Возрастающие и убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция y = f (x) называется ограниченной на промежутке Х, если существует такое положительное число М > 0, что | f (x)| ≤ M .

Например, функция y = sin x ограничена на всей числовой оси, т.к. |sin x | ≤ 1 .

4. Периодичность. Функция y = f (x) называется периодической с периодом Т ≠0, если для любых х из области определения функции f (x+Т) = f (x).

Например, функция y = cos x имеет период Т = 2π, т.к. для cos(x+ 2π)= cos x.

В.4. Основные элементарные функции и их свойства (см. приложение)

1. Степенная функция: y = xⁿ; y = x^-n; y = .

2. Показательная функция: y = a^x.

3. Логарифмическая функция: y = log _ax.

4. Тригонометрические функции: y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = ctg x.

5. Обратные тригонометрические функции: y = arcsin x; y = arccos x; y = arctg x; y = arcctg x.