В. 7. Преобразование графиков

Пусть задан график функции y = f(x). Тогда справедливы следующие утверждения:

1. График функции y = f(x+a) есть график y = f(x), сдвинутый на | а | единиц параллельно оси Оy (вдоль оси Oх); при a > 0 – влево, при a < 0 – вправо.

2. График функции y = f(x)+b есть график y = f(x), сдвинутый | b | единиц параллельно оси Оx (вдоль оси Oy); при b > 0 – вверх, при b < 0 – вниз.

3. График функции y = mf(x) (m ≠0) есть график y = f(x), растянутый при m > 1 в m раз или сжатый при 0 < m <1 в m раз вдоль оси Oy. При m < 0 график функции y = mf(x) есть зеркальное отображение графика y = -mf(x) от оси Ox.

4. График функции y = f(kx) (k ≠0) есть график y = f(x), сжатый при k > 1 в k раз или растянутый при 0 < k < 1 в k раз вдоль оси Ox. При k < 0 график функции y = f(-kx) есть зеркальное отображение графика y = f(kx) от оси Oy.

5. График функции получается из графика функции y = f(x), если оставить на месте ту часть, где f(x) ≥ 0 и симметрично отобразить относительно Ох часть f(x) ˂ 0:

.

6. График функции совпадает с графиком y = f(x) на множеств неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно Оу на множестве отрицательных значений аргумента.

Пример 4. Построить график функции у = –4∙sin2 x + 1.

Решение. 1) Сначала построим график функции у = sin x.

у

1

О х

-π - -1 π

2) Сжатием графика в 2 раза вдоль оси Ох получаем график функции у =sin2 x.

у

1

О х

-π - π

3) Растянем график у = sin2 x вдоль оси Оу в 4 раза и получим график функции

у = 4sin2 x. у

4

1

О х

-π - π

-4

4) Зеркально отобразив график от оси Ох, получим у = –4sin2 x.

у

4

1

О х

-π - π

-4

5) Сдвинем полученный график на 1 единицу вверх параллельно оси Оу. Таким образом график функции у = – 4∙sin2 x + 1 имеет вид:

у

5

1

π О π х

-3