Критерий Q Розенбаума

Этот критерий существенно проще, чем критерий U. Он ос­нован на сравнении двух упорядоченных, но не обязательно рав­ных по численности рядов наблюдений.

Работа с критерием Розенбаума предполагает подсчет так называемых «хвостов». Потому этот критерий имеет также на­звание — «критерий хвостов». Что же такое «хвост»?

Из предыдущего критерия мы помним, что два сравниваемых ряда имеют идеальное расположение (см. 7.2), если они могут быть представлены так:

(7.5)

хххххххххххх

УУУУУУУУУУУУУУУ Поскольку в этом случае между элементами обоих рядов нет пересечений (одинаковых элементов), то между этими двумя ря­дами будет статистически значимое различие.

В том случае, если в сравниваемых рядах будут равные эле­менты, их следует размещать точно друг под другом. В этом слу­чае два сравниваемых ряда можно расположить друг под другом следующими двумя эквивалентными способами:

xxxxx|xxxxxxx| S

Т |ууyyyyy|уууууууу

(7.6)

(7.7)

или так:

Т |nnnnnnnn|nnnnnnn zzzzzzzz|zzzzzzzzz | S

Выбор расположения либо 7.6, либо 7.7 произволен, В обоих случаях символы T и S обозначают соответственно левый и пра­вый «хвосты». Они подсчитываются так: величина Г равна числу элементов рядов а- или г, которые находятся левее начала совпа­дающих элементов в рядах у и я; величина 5 — соответственно равна числу элементов, которые находятся в рядах у и я, правее конца совпадающих элементов.

Таким образом, величина Т «левого» хвоста в случае распо­ложения данных 7.6 равна 5, в случае 7.7 — равна 8. Величина S «правого» хвоста в случае расположения данных 7.6 равна 8, в случае 7.7 — равна 7.

Q_эмп подсчитывается очень просто — это сумма величин S и Т. Иными словами:

О_эмп= S+ Т (7.5)

После подсчета сумм "хвостов" следует обратиться к таблице 8 Приложения в соответствии с количеством испытуемых в срав­ниваемых выборках. Когда сумма Q_эмп = S + Т достаточно велика, можно считать различия сравниваемых выборок значимыми. Для более полного знакомства с критерием решим следующую задачу.

Задача 7.2. Используя тест Векслера психолог определил показатели интеллекта у двух групп учащихся из городской и сельской школы. Его интересует вопрос — будут ли обнаружены статистически значимые различия в показателях интеллекта, если в городской выборке 11 детей, а в сель­ской 12?

Решение. Для решения задачи 7.2 результаты измерений сразу представим в удобном для расчета крите­рия Q виде, т.е. расположив числа в порядке воз­растания слева направо и одно измерение под другим (верхний ряд — городская школа, ниж­ний — сельская):

Т |96, 100, 104, 104,120, 120,120, 120, |126, 130, 134

76,82,82,84,88,|96, 100, 102, 104, 110, 118, 120| S

В этом случае 5= 3, Т= 5, Q_эмп = S+ Т= 3 + 5 = 8

Критические значения для критерия Q находим по таблице 8 Приложения, по которой определяем, что для n1 = 11 и n2= 12 при Р= 0,05 Q_Kр = 7, а при Р = 0,01 Q_Kр = 9. В привычных обозна­чениях это выглядит следующим образом:

Q_Kр = {7 для Р<0,05

Q_Kр = {9 для Р<0,01

Соответствующая ось значимости имеет вид:

Полученное значение Q_эмп попало в зону неопределенности. Психолог поэтому может считать полученные различия между рядами значимыми на уровне 5% (т. е. принимать, что уровень интеллекта учащихся городской школы выше, чем у учащихся сельской школы) и незначимыми на уровне 1%, т.е. исходить из того, что показатели интеллекта не различаются в обеих школах. Подчеркнем еще раз, что этот выбор уровня значимости опре­деляется планом и задачами эксперимента.

В терминах статистических гипотез полученный результат мо­жет звучать так: гипотеза Я₀ — о сходстве отклоняется на уровне значимости 0,05; в этом случае принимается альтернативная ги­потеза Я, — о различии. В то же время гипотеза Я₀ — о сход­стве может приниматься на уровне значимости 0,01, в этом слу­чае альтернативная гипотеза Я, — о различии — отклоняется.

Как видим, вычисления по критерию Q существенно проще, чем по критерию U, и поэтому сравнение двух независимых вы-бхэрок, каждая из которых имеет больше 11 элементов, целесо­образно начинать именно с этого критерия. Однако критерий Q

менее мощный, чем критерий U. Поэтому, если критерий Q не выявляет различий, то последнее не означает, что их нет. В та­ком случае целесообразно применить другие критерии. Однако, если критерий Q выявил значимые различия на уровне 1%, то можно ограничиться только этим критерием.

Для использование критерия Q необходимо соблюдать следу­ющие условия:

1. Измерение может быть проведено в шкале порядка, интерва­лов и отношений.

2. Выборки должны быть независимыми.

3. В каждой из выборок должно быть не меньше 11 испытуемых.

4. Приведенная в настоящем пособии таблица ограничивает вер­хний предел выборки 26 испытуемыми.

5. При числе наблюдений п\ и и2 > 26 можно пользоваться следу­ющими величинами Q_Kр:

Q_Kр = {8 для Р<0,05 Q_Kр = {10 для /><0,01

6. Принципиальным условием, дающим возможность применять критерий, является наличие «хвостов», т.е. расположение дан­ных в сравниваемых рядах по типу 7.6 и 7.7. В случае располо­жения выборок следующим образом:

хххххххххххххххххххххххх

УУУУУУУУУУУУУУ

критерий Q оказывается неприменим. Следует использовать кри­терий U.