Сравнение эмпирического распределения с теоретическим

В разных задачах подсчет теоретических частот осуществляется по-разному. Рассмотрим примеры задач, иллюстрирующих различ­ные варианты подсчета теоретических частот. Начнем с равноверо­ятного распределения теоретических частот. В задачах такого типа

(8.1, 8.2 и 8.3) в силу требования равномерности распределения все теоретические частоты должны быть равны между собой.

Задача 8.1. Предположим, что в эксперименте психологу не­обходимо использовать шестигранный игральный кубик с цифрами на гранях от 1 до 6. Для чистоты эксперимента необходимо получить «идеальный» ку­бик, т.е. такой, чтобы при достаточно большом чис­ле подбрасываний, каждая его грань выпадала бы при­мерно равное число раз. Задача состоит в выяснении того, будет ли данный кубик близок к идеальному?

Решение, Для решения этой задачи, психолог подбрасывал кубик 60 раз, при этом количество выпадений каждой грани (эмпирические частоты f_}) распре­делилось следующим образом:

Таблица 8.1

Грани кубика
f, — эмпирические частоты
1т— теоретические частоты

В «идеальном» случае необходимо, чтобы каждая из 6 его гра­ней (теоретические частоты) выпадала бы равное число раз:

60:6 = 10. Величина60:6 = 10 и будет, очевидно, теоретической час-тотой (f_m), одинаковой для каждой грани кубика.

Согласно данным таблицы 8.1 легко подсчитать величину

Х²_эмп (хи- квадрат эмпирическое) по формуле (8.1).

Теперь, для того чтобы найти х²_кр, необходимо обратиться к таблице 12 Приложения 1, определив, предварительно число степеней свободы v. В нашем случае k (число граней) = б, следом вательно v = 6 - 1 = 5. По таблице 12 Приложения 1 находим ве­личины х²_кр для уровней значимости 0,05 и 0,01:

х²_кр = 11,070 для Р< 0,05 х²_кр = 5,086 для Р< 0,01

Строим «ось значимости»

В нашем случае х²_эмп попало в зону незначимости и оказалось

равным 4,2, что гораздо меньше 11,070 — критической величи­ны для 5% уровня значимости. Следовательно, можно принимать гипотезу Н₀ о том, что эмпирическое и теоретическое распреде­ления не различаются между собой. Таким образом, можно ут­верждать, что игральный кубик «безупречен».

Понятно, также, что если бы х²_эмп попало в зону значимос­ти, то следовало бы принять гипотезу Н₁ о наличии различий и тем самым утверждать, что наш игральный кубик был бы далеко не «безупречен».

Задача 8.2. В эксперименте испытуемый должен произвести выбор левого или правого стола с заданиями. В инструкции психолог подчеркивает, что задания на обоих столах одинаковы. Из 150 испытуемых правый стол выбрали 98 человек, а левый 52. Можно ли утверждать, что подобный выбор ле­вого или правого стола равновероятен или он обусловлен какой-либо причиной, неизвестной психологу?

Решение. Подчеркнем, что данная задача вновь на сопос­тавление экспериментального распределения с теоретическим. Каковы в этом случае параметры теоретического распределения? Предполагается, что выбор должен быть равновероятным, т.е. пра­вый и левый стол должны выбрать одинаковое количество испытуемых, а это 150:2 =75человек.

Проверим совпадение эмпирического распределения с теоре­тическим по критерию хи -квадрат. Лучше всего для расчета кри­терия использовать таблицу 8.2, последовательность вычислений в которой соответствует формуле (8.1).

Таблица 8.2

№ 1	№2	№3	№ 4	№ 5	№ 6
Альтернативы выбора стола	fэ	fm	(fэ-fm)	(fэ-fm)2
1 (правый)		75			7,05
2 (левый)		75	-23		7,05
Суммы					х2эмп = 14, 1

В таблице 8.2 альтернатива 1 соответствует выбору правого стола, а альтернатива 2 — выбору левого. Второй и третий столб­цы таблицы соответственно эмпирические и теоретические час­тоты. Следует просуммировать эти два столбца, чтобы проверить равенство сумм эмпирических и теоретических частот. Четвертый столбец соответствует разности между эмпирическими и теоре­тическими частотами (f_э - f_m). В нижней строчке столбца эти раз­ности просуммированы. Полученная сумма равна 0. В дальнейших расчетах величина этой суммы не используется, но ее обязатель­но следует каждый раз вычислять, поскольку се равенство нулю гарантирует правильность вычислений на этом этапе. Если же сумма элементов четвертого столбца не равна нулю, это означа­ет, что в расчеты вкралась ошибка.

В нашем случае эмпирическая величина xw-квадрат, вычис­ленная по формуле (8.1), равна 14,1 и является суммой чисел в

шестом столбце. Для того чтобы найти табличные значения х ²_кр

следует определить число степеней свободы по формуле: v = k - 1, где k — количество альтернатив (строк). В нашем случае k = 2, следовательно v = 2 - 1 = 1. По таблице 12 Приложения 1 нахо­дим:

х ²_кр = 3,841 для Р< 0,05

х ²_кр = б,635для Р< 0,01

Строим «ось значимости»:

Полученные различия оказались значимыми на уровне 1%. Иными словами, испытуемые статистически значимо предпочи­тают выбор правого стола. В терминах статистических гипотез этот вывод звучит так: выбор направления оказался не случай­ным, поэтому нулевая гипотеза Н₀ о сходстве отклоняется и на высоком уровне значимости принимается альтернативная гипоте­за Н₁ о различии. Если психологу интересны причины подобного выбора, то их следует выяснять в специальном эксперименте.

Задача 8.3. Психолог решает задачу: будет ли удовлетворен­ность работой на данном предприятии распреде­лена равномерно по следующим альтернативам (градациям):

1 —Работой вполне доволен;

2 — Скорее доволен, чем не доволен;

3 —Трудно сказать, не знаю, безразлично;

4 — Скорее недоволен, чем доволен;

5 — Совершенно недоволен работой.

Решение. Для решения этой задачи производится опрос случайной выборки из 65 респондентов (испыту­емых) об удовлетворенности работой: «В какой степени Вас устраивает Ваша теперешняя рабо­та?», причем ответы должны даваться согласно вышеозначенным альтернативам.

Полученные ответы (эмпирические частоты) представлены в таблице 8.3 в столбце № 2. В этой же таблице в третьем столбце даны теоретические частоты для данной выборки испытуемых, которые, согласно предположению психолога, должны быть

одинаковы и равняться: — = 13. В следующих столбцах таблицы 8.3 приведены необходимые расчеты по формуле (8.1).

Таблица 8.3

№ 1	№2	№ 3	№4	N° 5	№6
Альтернативы.	fэ	fm	(fэ-fm)	(fэ-fm)2
			-5		1,92
2			+9		6,23
3			+ 1		0,08
			-4		1,23
			-1		0,08
Суммы					х2эмп = 9,54

Напомним, что сумма величин (f_э - f_m) в столбце № 4 долж­на равняться нулю. Это показатель правильности вычислений.

В шестом столбце таблицы подсчитана величина х²_эмп равная

9,54. Для того чтобы найти табличные значения х ²_кр для двух

Уровней значимости, следует вначале определить число степеней свободы по формуле: v = k - 1, где k — количество альтернатив

(строк). В нашем случае k = 5, следовательно v = 5 - 1 = 4. По таб­лице 12 Приложения 1 находим:

х ²_кр = 9,488 для Р< 0,05

х ²_кр = 13,277 для Р< 0,01

Строим «ось значимости»:

Величина х ² _эмп попала в зону неопределенности. Можно счи­тать, однако, что полученные различия значимы на уровне 5% и принять гипотезу Н₁ о различии теоретического и эмпирическо­го распределений. Психолог может предположить, что на 5% уровне значимости выбор альтернатив респондентами не равно­вероятен. Таким образом, можно сказать, что эмпирическое рас­пределение выбора альтернатив значимо отличается от теорети­чески предположенного равномерного выбора альтернатив. При­чину этого, а также степень отвержения или предпочтения рабо­ты на данном предприятии психолог может выяснить в специ­альном исследовании.

При решении приведенных выше трех задач с равновероят­ным распределением теоретических частот не было необходимо­сти использовать специальные процедуры их подсчета. Однако на практике чаще возникают задачи, в которых распределение тео­ретических частот не имеет равновероятного характера. В этих случаях для подсчета теоретических частот используются специ­альные формулы или таблицы. Рассмотрим задачу, в которой в качестве теоретического будет использоваться нормальное рас­пределение.

Задача 8.4. У 267 человек был измерен рост. Вопрос состоит в том, будет ли полученное в этой выборке распре-

деление роста близко к нормальному? (Задача взя­та из учебника Г.Ф. Лакина «Биометрия», 1990). Решение. Измерения проводились с точностью до 0,1 см и все полученные величины роста оказались в диапа­зоне от 156,5 до 183,5 см. Для расчета по критерию хи -квадрат целесообразно разбить этот диапазон на интервалы, величину интервала удобнее всего взять равной 3 см, поскольку 183,5 - 156,5 = 27 и

27 делится нацело на 3 [27: 3=9]. Таким образом,

все экспериментальные данные будут распреде­лены по 9 интервалам. При этом центрами интер­валов будут следующие числа: 158 (поскольку

156,5 + 159,5 = 316 и 316:2 = 158), 161

(поскольку 159,5+ 162,5 = 322 и 322:2 = 161), 164 и т.д. до 182.

При измерении роста в каждый из этих интервалов попало какое-то количество людей — эта величина для каждого интер­вала и будет эмпирической частотой, обозначаемой в дальней­шем как f_эi..

Чтобы применить расчетную формулу 8.1 необходимо прежде всего вычислить теоретические частоты. Для этого по всем полу­ченным значениям эмпирических частот (по всем выборочным данным) нужно вычислить:

1) среднее X

2) и среднеквадратическое отклонение (а).

Для наших выборочных данных величина среднего X оказа­лась равной 166,22 и среднеквадратическое а = 4,06.

Затем для каждого выделенного интервала следует подсчитать величины оi по формуле (8.3) (где индекс i изменяется от 1 до 9, т.к. у нас 9 интервалов):

(8.3)

Величины oi называются нормированными частотами. Удоб­нее производить их расчет в приведенной ниже таблице 8.4. Под­считав эти величины, необходимо занести их в соответствующую строчку третьего столбца таблицы 8.4.

Затем по величинам нормированных частот по таблице 11 Приложения 1 находятся величины f(oi), которые называются ординатами нормальной кривой для каждой oi. Величины f(oi), полученные из таблицы 11 Приложения 1, заносятся в соответ­ствующую строчку четвертого столбца таблицы 8.4. Величины, полученные в третьем и четвертом столбцах таблицы 8.4, позво- ляют вычислить по соответствующей формуле необходимые нам теоретические частоты (обозначаемые как f_mi) и также занести их в пятый столбец таблицы 8.4.

Расчет теоретических частот осуществляется для каждого ин­тервала по следующей формуле

(8.4)

где п = 267 (общая величина выборки), λ = 3 (величина интервала) и а — среднеквадратичное отклонение.

Напомним, что после подсчета эти величины заносятся в со­ответствующую строчку пятого столбца таблицы 8.4.

Таблица 8.4

№1	№2	№3	№4	№5
Центры интервалов хi	Эмпирические частоты fэi		Ординаты нормальной кривой f(oi)	Расчетные теоретические частоты fmi
		-2,77	0,0086	1,6
		-2,03	0,0508	10,0
		-1,29	0,1736	34,3
		-0,55	0,3429	67,8
		+0,19	0,3918	77,6
		+0,93	0,2589	51,2
Продолжение	таблица 8.4
		+ 1,67	0,0989	19,5
		+2,41	0,0219	4,4
		+3,15	0,0028	0,6
Суммы		-	—	267,0

Рассмотрим более детально, как получаются необходимые нам показатели на примере первой строчки таблицы 8.4.

Так, согласно экспериментальным данным в первый интер­вал, т.е. в интервал от 156,5 см до 159,5 см, попало 3 человека (или соответствующая эмпирическая частота f_эi= 3). Мы по­мним, что величина средней X для данной выборки равна 169,22 см, а величина а = 4,06.

Проведем расчет величины o l для первого интервала по фор­муле (8.3):

Подставляем полученную величину в первую строчку третье­го столбца таблицы 8.4. Дальнейший расчет производится с мо­дулями этих чисел.

Величину f(oi) = 0,0086 находим в таблице 11 Приложения 1 на пересечении строчки с числом 2,7 (десятые доли) и столбца с числом 7 (сотые доли). Заносим эту величину в первую строчку четвертого столбца таблицы 8.4.

Теоретическую частоту f_mi, получаем в соответствии с форму­лой (8.4):

Заносим полученное число в первую строчку пятого столбца таблицы 8.4. Подобная процедура повторяется далее для каждого

интервала.

Теперь у нас все готово для работы с критерием хи -квадрат по формуле 8.1 на основе стандартной таблицы. В целях упроще­ния расчетов сократим число интервалов до 7. Это делается сле­дующим образом: складываем две верхние частоты и две ниж-

ние, т.е: 3 + 9=12 и 1+5 = 6. Тогда стандартная таблица для] вычисления хи -квадрат выглядит так:

Таблица 8.5

№ 1	№ 2	№ 3	№ 4	№5	№6
Альтернативы	fэ	fm	(fэ - fm)	(fэ - fm)2
		11,6	+ 0,4	0,16	0,01
		34,3	-3,3	10,89	0,32
		67,8	+ 3,2	10,24	0,15
		77,6	+ 4,4	19,36	0,25
		51,2	-5,2	27,04	0,53
		19,5	-0,5	0,25	0,01
		5,0	+ 1,0	1,00	0,20
Суммы					х 2 эмп = 1,47

В случае оценки равенства эмпирического распределения нормальному число степеней свободы определяется особым об­разом: из общего числа интервалов вычитают число 3. В данном случае: 7-3 = 4. Таким образом, число степеней свободы v в на­шем случае будет равно v = 4. По таблице 12 Приложения I на­ходим:

х ²_кр= {9,488 для Р< 0,05 х ²_кр = {13,277 для Р< 0,01

Строим «ось значимости»:

Полученная величина эмпирического значения хи -квадрат попала в зону незначимости, поэтому, необходимо принять ги­потезу Н₀ об отсутствии различий. Следовательно, существуют все основания утверждать, что наше эмпирическое распределе­ние близко к нормальному.

В заключении подчеркнем, что, несмотря на некоторую «гро­моздкость» вычислительных процедур, этот способ расчета дает наиболее точную оценку совпадения эмпирического и нормаль­ного распределений.