Частотный критерий устойчивости Найквиста

Сформулирован в 1932 г. американским физиком Х. Найквистом занимавшимся исследованием свойств электронных усилителей с обратной связью. Позднее советский учёный А.В. Михайлов обосновал этот критерий и показал возможность его применения при анализе САУ.

Особенность критерия Найквиста позволяет судить от устойчивости замкнутой САУ по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутого контура системы. Это является важным преимуществом критерия, т.к.

1) построить АФЧХ разомкнутой системы значительно проще, чем замкнутой;

2) когда известно математическое описание элементов системы и оценка их свойств возможна только путём экспериментального определения частотных характеристик, критерий Найквиста является единственно пригодным.

Основная формулировка критерия Найквиста:

САУ устойчива, если АФЧХ разомкнутого контура не охватывает точку с координатами (–1;0).

Р (ω)

ωКР

jQ (ω)

неустойчивая система

K

–1

система на грани устойчивости

устойчивая система

Критерий Найквиста удобно использовать для анализа систем, содержащих звено запаздывания. Если запаздывающее звено включено последовательно с остальными звеньями, то АФЧХ разомкнутого контура может быть представлена как произведение

,

где – АФЧХ остальных звеньев.

Характеристику W (j ω) строят следующим образом. Вначале строят кривую , а затем каждый вектор, соответствующий частоте ω _i поворачивают на угол ω _i τ. Звено запаздывания ухудшает устойчивость системы.

Если разомкнутый контур образован последовательным соединением типовых динамических звеньев, то целесообразно частотную характеристику контура строить в логарифмической системе координат. При этом используют логарифмический критерий Найквиста, который формулируется следующим образом:

lg(ω)

L (ω)

lg(ω)

φ(ω)

–180º

2 – на границе устойчивости

3 – неустойчивая

1 – устойчивая

ωπ2

lgωср1

lgωср2

lgωср3

Система устойчива, если при достижении фазовой частотной характеристики значения –180º логарифмическая амплитудная характеристика будет отрицательной.

Если L (ω) < 0, то А (ω) < 1. Поэтому отрицательность L (ω) при φ(ω) = –180º свидетельствует о том, что АФЧХ разомкнутого контура не охватывает точку (–1; j 0).

Правила приближённого построения ЛАЧХ последовательного соединения типовых звеньев:

1) по передаточной функции разомкнутой системы вида

определяют сопрягающие частоты ω_С1 = 1/ Т ₁, ω_С2 = 1/ Т ₂,… и отмечают их вдоль оси частот;

2) проводят низкочастотную асимптоту, которая до первой сопрягающей частоты () представляет собой прямую с наклоном
–20∙ν дБ/дек (здесь ν – порядок астатизма системы, равный числу интегрирующих звеньев. Это прямая, или её продолжение при частоте ω = 1 (lgω=0) должна иметь ординату 20lg K (K – коэффициент усиления разомкнутой системы);

3) после каждой из сопрягающих частот ω_{С i} наклон характеристики L (ω) изменяют по сравнению с наклоном, который эта характеристика имела до сопрягающей частоты ω_{С i}, в зависимости от того, к какому звену принадлежит эта частота. Наклон изменяется на:

- –20дБ/дек, если сопрягающая частота принадлежит апериодическому звену 1-го порядка;

- –40дБ/дек, если сопрягающая частота принадлежит колебательному звену;

- +20дБ/дек, если сопрягающая частота принадлежит дифференцирующему звену;

- +40дБ/дек, если сопрягающая частота принадлежит дифференцирующему звену 2-го порядка.

Фазовую характеристику легко построить суммированием ФЧХ входящих в систему звеньев.

Задача. Определить по логарифмическим частотным характеристикам устойчивость статической системы, состоящей из трёх инерционных звеньев первого порядка с постоянными времени Т ₁ = 0,2 с, Т ₂ = 0,1 с, Т ₃ = 0,05 с. Передаточный коэффициент разомкнутого контура K = 20.

Сопрягающие частоты звеньев:

.

lg(ω)

L (ω)

lg(ω)

φ(ω)

–180º

ωπ

lgωс1

lgωс2

lgωс

–90º

20º

40º

lgωс3

–20

–40

–60

(ν=0)

Приближённая ЛАЧХ

Фазовая характеристика φ(ω) разомкнутого контура вычисляется по выражению

.

L (ω_П) > 0, значит система неустойчива.

20lg(ω)

–20

–10

K

Из рисунка видно, что при увеличении K градиент L (ω) поднимается и устойчивость уменьшается.