Алгебраические критерии устойчивости

Критерий Гурвица сформулирован и доказан в 1895 году немецким математиком А. Гурвицем, который решал чисто математическую задачу исследования устойчивости решений линейного дифференциального уравнения по просьбе словацкого учёного Стодолы, занимавшегося регулированием турбин.

Формулировка критерия:

автоматическая система, описываемая характеристическим уравнением

(9.4)

устойчива, если при а ₀ > 0 положительны все определители Δ₁, Δ₂, …, Δ _n вида

, i = 1, 2, …, n. (9.5)

Матрица составляется следующим образом: на главной диагонали записывают все коэффициенты характеристического уравнения от а ₁ до а_i, затем в каждом столбце выше диагональных коэффициентов записывают коэффициенты с последовательно возрастающими индексами, а ниже – с последовательно убывающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше i и меньше 0 проставляют ноль. При этом каждая i -я матрица получается квадратной, размером i × i.

Т.к. последний столбец главного определителя Δ _n содержит всегда только один элемент а_n отличный от нуля, то согласно известному свойству определителей

. (9.6)

Если главный определитель Δ _n = 0, а все остальные определители положительны, то система находится на границе устойчивости. С учётом (9.6) это условие распадается на два:

. (9.6')

Условию Δ _n = 0 соответствует один нулевой корень, т.е. апериодическая граница устойчивости, а условию Δ _{n -1} = 0 – пара колебательных корней с нулевой действительной частью, т.е. колебательная граница устойчивости.

Рассмотрим частные случаи критерия Гурвица для n = 1,2,3,4.

Для n = 1 условие устойчивости (УУ):

, (9.7)

т.е. положительность коэффициентов уравнения является в данном случае и необходимым и достаточным условием. Действительно, при единственный корень уравнения (9.7) будет отрицательным

. (9.8)

Для n = 2 УУ:

,

т.е. и для системы второго порядка необходимое условие устойчивости (положительность коэффициентов) является одновременно и достаточным.

Для n = 3 УУ:

. (9.9)

Последнее неравенство при эквивалентно неравенству . Следовательно, для системы третьего порядка кроме положительности всех коэффициентов требуется чтобы .

Для n = 3, с учётом выражения для Δ₂, сформулировано следующее условие устойчивости: произведение средних коэффициентов уравнения должно быть больше произведения крайних.

Для n = 4 кроме положительности всех коэффициентов требуется выполнение условия

. (9.10)

При условии положительности всех коэффициентов условие (9.10) обеспечивается при .

Т.о. для устойчивости систем не выше четвёртого порядка необходимо и достаточно, чтобы все коэффициенты характеристического уравнения и определитель Δ _{n -1} были положительны.

Критерий Гурвица целесообразно применять для анализа устойчивости систем не выше пятого порядка. При n > 5 вычисленные определители становятся громоздкими.

Задача 1. Определить с помощью критерия Гурвица устойчивость системы управления частотой вращения двигателя (см. рис. 8.1) при следующих значениях параметров:

.

Согласно передаточной функции (6.6) системы по каналу задающего воздействия характеристическое уравнение системы

.

Приводя это уравнение к форме (9.4) получим значения коэффициентов

.

Все коэффициенты положительны, т.е. необходимое условие устойчивости выполняется.

Проверим выполнение достаточного условия

.

Т.к. , то система устойчива.

Задача 2. Определить, какое максимальное значение K _макс коэффициента K, допустимо по условию устойчивости.

Вначале определим K _макс из условия нахождения системы на колебательной границе устойчивости (выражение (7.6')):

(9.10')

(должно быть равно нулю, но для определения области устойчивости лучше сразу учитывать и больше нуля). Коэффициент K входит в а ₃. Из условия (9.10) .

Теперь определим K _макс из условия нахождения системы на апериодической границе устойчивости ():

,

откуда . Знак «–» соответствует положительной обратной связи в главном контуре системы. Значит рассмотренная система устойчива и при «+» обратной связи, если K по модулю меньше единицы (но точность системы при положительной обратной связи неприемлема).

Критерий Рауса – предложен в 1877 году английским математиком (критерий Гурвица вытекает из критерия Рауса). Его целесообразно использовать при анализе систем выше четвёртого порядка. Для этого из коэффициентов характеристического уравнения (9.4) по определённому правилу составляют таблицу. Алгоритм вычисления коэффициентов таблицы легко программируется. Поэтому критерий Рауса используется для анализа систем высокого порядка () с помощью ЭВМ.

Преимуществом алгебраических критериев Гурвица и Рауса является возможность оценки устойчивости как замкнутых, так и разомкнутых систем, кроме того не надо искать корни уравнения, достаточно только коэффициенты.