![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 4. Теорема Гаусса
Полином от комплексного, вообще говоря, переменного с комплексными, вообще говоря, коэффициентами имеет, по крайней мере, один, вообще говоря, комплексный корень.
Следствие 1. Многочлен с, вообще говоря, комплексными коэффициентами от, вообще говоря, комплексного переменного имеет ровно
, вообще говоря, комплексных корней, пусть даже совпадающих.
Доказательство:
По теореме Гаусса существует, по крайней мере, один корень полинома . Пусть число
– корень
. Тогда по теореме Безу
. Применим теорему Гаусса к многочлену
и так далее. Получим
. Покажем, что
. Для этого перемножим скобки
и сравним коэффициенты в левой и правой частях при
. Получим требуемое. ■
Следствие 2. Если – корень многочлена
с действительными коэффициентами, то
также является корнем этого многочлена той же кратности.
Доказательство:
Для доказательства докажем лемму.
Лемма. Если – комплексные числа, то
,
.
Доказательство леммы:
Пусть ,
. Рассмотрим
Теперь,
. ▲
Перейдём к доказательству следствия. Рассмотрим . Пусть
– корень уравнения. Тогда, используя лемму, получим
. Так как
– действительные, то
, что означает,
– корень уравнения
.
Теперь покажем, что имеет ту же кратность, что и
. Предположим обратное, т.е.
имеет кратность
, а
кратность
,
. Пусть
, тогда
, где
и
не являются корнями
. Рассмотрим
. Заметим, что
по теореме Виета, где
,
– действительные числа, причём
. Тогда
. Получим, что многочлен
имеет корень
, а,
, по доказанному выше, корнем не является, противоречит условию. Таким образом,
, т.е.
и
имеют одинаковую кратность. ■
Следствие 3. Если многочлен с действительными коэффициентами, причём
,
, то уравнение
имеет, по крайней мере, один действительный корень.
Доказательство:
Так как комплексно сопряжённые корни имеют одинаковую кратность, а по следствию 1 многочлен имеет ровно
, вообще говоря, комплексных корней, то, по крайней мере, одному корню не «хватает» пары. Следовательно, он действителен. ■
Следствие 4. Любой многочлен можно представить в виде
, где
– действительные корни кратности
, а
не имеют действительных корней
(доказать самостоятельно).
Следствие 5. Пусть – правильная рациональная дробь. Тогда если
, то
Доказательство этого следствия проиллюстрируем на примере.
Пример. Разложим дробь на сумму элементов дробей.
Решение:
.
Для нахождения неизвестных коэффициентов ,
,
приравняем числители:
. Получим отсюда:
. Тогда:
.
Пример. Разложить дробь на сумму элементарных дробей.
Решение:
Данная дробь является неправильной. Поэтому разделим числитель на знаменатель:
![]() ![]()
|
Таким образом, . Далее,
. Получаем, что
.
Для нахождения неопределённых коэффициентов ,
,
воспользуемся методом частных значений (в качестве таковых удобно брать корни знаменателя):
. Отсюда
. Тогда окончательно получим:
.
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 425 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!