Схема Горнера

Схема Горнера – это наиболее эффективный алгоритм деления полинома на двучлен . По теореме 1 . Распишем в последнем равенстве все многочлены: . Два полинома равны тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях. Поэтому:

………………………..		…………………………
		Ошибка! Ошибка связи.

		……………
		……………
		……………

Следствие. Если полином имеет целые коэффициенты, причём , и его корни есть целые числа, то эти корни являются делителями свободного члена .

Доказательство:

По условию , где . Пусть – корень полинома , т.е. . Вынесем за скобку в левой части равенства: . Так как все – целые, тогда, если – целые, то – целое, т.е. является делителем числа . ■

Пример. Используя схему Горнера, разделить полином

на .

Решение:

Запишем делимое в каноническом виде, т.е. .

Применяя схему Горнера, имеем:

			-3		-1
	-1			-4
	-1	-2		-5

Итак, частное и остаток . Проверим . Заметим, что числа, стоящие в последней строке, кроме , являются коэффициентами частного .

Пример. Разложить на множители полином .

Решение:

Делители свободного коэффициента: . Так как , то делится на . По схеме Горнера:

	-1	-3	-2

Таким образом, .