Теория граней

Определение 1. Множество ограничено сверху (снизу), если существует число , такое что . Число называется верхней (нижней) гранью.

Определение 2. Множество ограниченно, если оно ограниченно и сверху, и снизу.

Определение 3. Точной верхней гранью ограниченного сверху множества действительных чисел называется :

(т.е. – одна из верхних граней);

(т.е. – несдвигаемая).

Замечание. Точная верхняя грань (ТВГ) числового множества обозначается (от лат. supremum - самый малый из больших).

Замечание. Соответствующее определение для ТНГ (точной нижней грани) дать самостоятельно. ТНГ числового множества обозначается (от лат. infinum - наибольший из меньших).

Замечание. может принадлежать , а может, и нет. Число есть ТВГ множества отрицательных действительных чисел, и ТНГ множества положительных действительных чисел, но не принадлежит ни тем, ни другим. Число есть ТНГ множества натуральных чисел и относится к ним.

Возникает вопрос: любое ли ограниченное множество имеет точные границы и сколько их?

Теорема 1. Любое непустое ограниченное сверху множество действительных чисел имеет единственную ТВГ. (аналогично теорему для ТНГ сформулировать и доказать самостоятельно).

Конструкция. Множество непустое, ограниченное сверху множество действительных чисел. Тогда и . Разделим отрезок

пополам и назовём отрезком тот из них, который обладает следующими свойствами:

отрезок содержит хоть одну точку . (например, точку );

всё множество лежит левее точки , т.е. .

Продолжив эту процедуру, получим ССС . Таким образом, по теореме Кантора существует и единственна точка , принадлежащая всем сегментам сразу. Покажем, что .

Покажем, что (т.е. – одна из граней). Предположим противное, что . Так как , то как только , , т.е. , т.е. . По правилу выбора точек , точка всегда левее , т.е. , следовательно, и . Но выбирается так, что все , а , т.е. и . Это противоречие доказывает эту часть теоремы.

Покажем несдвигаемость , т.е. . Зафиксируем и найдём номер . В соответствии с правилом 1 выбора отрезков . Мы только что показали, что , т.е. , или . Таким образом , или . ■