Комплексные числа

В предыдущем пункте мы получили фундаментальный результат, состоящий в установлении непрерывности действительной оси, т.е. это означает, что никаких других чисел на действительной оси не существует. Однако множество не замкнуто относительно операции извлечения корня. В частности, уравнение типа мы по-прежнему не умеем решать. Р. Декарт (1637 г.) предложил искать новые числа, на множестве которых станет возможным решение подобных задач на плоскости, т.е. рассматривать их как координаты точек в ДПСК-2. При этом число представляется как упорядоченная пара двух действительных чисел, где пара . Для пар вида должны выполняться все операции над действительными числами (принцип перманентности). Оказалось, это возможно сделать, если дать следующее определение.

Определение 1. Комплексным числом называется упорядоченная пара действительных чисел такая, что выполняются следующие условия. Пусть и , тогда:

1. ;

2. ;

3. .

Число (первый элемент пары) называется действительной частью числа , а (второй элемент пары) – мнимой частью. Обозначим их через , .

Операции над комплексными числами обладают свойствами ассоциативности, коммутативности и дистрибутивности (показать).

Положим . Числа , удовлетворяют всем правилам операций над действительными числами (показать).

Рассмотрим число и возведём его в квадрат: . Таким образом, число является решением уравнения . Это число Р. Декарт назвал мнимой единицей и обозначил .