Алгебраическая форма комплексного числа

Запись комплексного числа в виде не совсем удобна при выполнении арифметических операций над комплексными числами. Поэтому перейдем к алгебраической форме записи комплексного числа. Пусть . Рассмотрим число и умножим его на :

, т.е. .

Используя введённые обозначения , , , получим: . Такое представление называют алгебраической формой комплексного числа .

Определение 2. Число называется комплексно сопряжённым числу . Отметим, что , .

Арифметические действия над комплексными числами , выполняются по следующим формулам:

1) ;

2) ;

3) , .

Пример. Пусть , . Найти , , .

,

,

. ■

3.5. 2. Геометрическая интерпретация
комплексного числа

В соответствии с идеей Декарта, каждому комплексному числу можно сопоставить точку на плоскости или её радиус-вектор. Можно показать, что между множеством комплексных чисел и множеством радиус-векторов точек плоскости существует взаимно однозначное соответствие. Таким образом, комплексно сопряжённые числа и изображаются точками, симметричными относительно оси . Заметим, что комплексные числа складываются и вычитаются по правилу сложения векторов.

Определение 1. Длина радиус-вектора, соответствующего числа , называется модулем этого числа и .

Определение 2. Аргументом комплексного числа называется угол между соответствующим радиус-вектором и положительным направлением оси .

Отметим, что , если отсчет ведет против часовой стрелки, и , если – по часовой стрелке. Для числа понятие аргумента не вводится, а при , определяется с точностью до слагаемого , . Среди всех значений , , существует только одно значение, лежащее в промежутке (или ). Оно называется главным и обозначается . Следовательно, .