Аппроксимация производных

Для аппроксимации (замены) первой производной можно воспользоваться формулами:

- правая разностная производная,

- левая разностная производная,

- центральная разностная производная.

т.е., возможно множество способов аппроксимации производной.

Все эти определения следуют из понятия производной как предела: .

Опираясь на разностную аппроксимацию первой производной можно построить разностную аппроксимацию второй производной:

(3)

Аналогично можно получить аппроксимации производных более высокого порядка.

Определение. Погрешностью аппроксимации n- ой производной называется разность: .

Для определения порядка аппроксимации используется разложение в ряд Тейлора.

Рассмотрим правую разностную аппроксимацию первой производной:

Т.е. правая разностная производная имеет первый по h порядок аппроксимации.

Аналогично и для левой разностной производной.

Центральная разностная производная имеет второй порядок аппроксимации.

Аппроксимация второй производной по формуле (3) также имеет второй порядок аппроксимации.

Для того чтобы аппроксимировать дифференциальное уравнение необходимо в нем заменить все производные их аппроксимациями. Рассмотрим задачу (1), (2) и заменим в(1) производные:

.

В результате получим:

(4)

Порядок аппроксимации исходной задачи равен 2, т.к. вторая и первая производные заменены с порядком 2, а остальные – точно.

Итак, вместо дифференциальных уравнений (1), (2) получена система линейных уравнений для определения в узлах сетки.

Схему можно представить в виде:

т.е., получили систему линейных уравнений с матрицей:

Данная матрица является трехдиагональной, т.е. все элементы, которые расположены не на главной диагонали и двух прилегающих к ней диагоналях равны нулю.

Решая полученную систему уравнений, мы получим решение исходной задачи.

Для решения таких СЛАУ имеется экономичный метод прогонки.

Рассмотрим метод прогонки для СЛАУ:

(1)

Решение данной системы ищем в виде:

(2)

Подставляя в первое уравнение, получим:

Здесь учтено, что данное соотношение должно выполняться при любом

Так как

, (3)

то подставляя (3) во второе уравнение, получим:

Сравнивая с (2) получим

.

Таким образом, можно найти все .

Тогда из последнего уравнения (1) находим:

Затем последовательно находим:

Таким образом, алгоритм метода прогонки можно представить в виде:

1) Находим

2) Для i=1,n-1: (4)

3) Находим

4) Для i=n-1 до 1 находим:

Шаги 1),2) – прямой ход метода прогонки, 3),4) – обратный ход метода прогонки.

Теорема. Пусть коэффициенты a_i, b_i системы уравнений при i =2, 3, …, n–1 отличны от нуля и пусть

при i =1, 2, 3, …, n. Тогда прогонка корректна и устойчива.

При выполнении этих условий знаменатели в алгоритме метода прогонки не обращаются в нуль и, кроме того, погрешность вычислений, внесенная на каком либо шаге вычислений, не будет возрастать при переходе к следующим шагам. Данное условие есть ни что иное, как условие диагонального преобладания.

Для нашей краевой задачи имеем:

Тогда: , ,

Для нашей задачи условие устойчивости имеет вид:

.

Пусть

. (6)

Тогда

Пример. Найти решение задачи:

Выпишем разностную схему

Условие устойчивости примет вид

Возьмем .

Тогда

Или

Формулы прогонки были получены для СЛАУ (1):

Здесь x замены на u.

Следовательно,

Решим СЛАУ методом прогонки. Вычисления оформим в виде таблицы:

I	ai	ci	bi	fi	alfai	betai	ui
				0.2	0.6863	-0.0039	0.4701
				0.4	0.8598	-0.0113	0.6906
				0.6	0.9186	-0.0202	0.8164
				0.8	0.9403	-0.0296	0.9107
		-1					1.0000

Порядок вычислений по формулам (4):

Ответ в столбце u_i.

Если забыли формулы, то их можно легко вывести. Главное запомнить основную формулу:

Прямой ход

Обратный ход

На практике часто граничные условия могут иметь более общий вид.

Рассмотрим следующую краевую задачу:

Найти решение ОДУ 2-го порядка

,

удовлетворяющую краевым условиям:

В этом случае при построении разностной схемы необходимо еще аппроксимировать и краевые условия.

Аппроксимация:

В результате получим разностную схему:

Или