Численные методы решения задачи Коши для ОДУ первого порядка. Методы Эйлера

Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида:

F (x, y, у ')=0 или у '= f (x, y). (12.4)

В первом случае задан общим вид ОДУ первого порядка, во втором оно представлено в виде, разрешенном относительно старшей производной.

Так как при n =1 дополнительное условие единственное, то оно задается в одной точке и задача поиска единственного решения формулируется в виде задачи Коши. Рассмотрим второй вариант постановки задачи (12.4) при уравнении, разрешенном относительно старшей производной.

Постановка задачи. Найти численное решение ОДУ первого порядка

у ' = f (x, y) (12.5)

на отрезке [ а, b ] при дополнительном условии: y (а)= y ₀.

В качестве численного решения принимаем табличное задание искомой функции y (x) на равномерной сетке на отрезке [ а, b ] с постоянным шагом h = (a - b) / n, в которой:

n - число частных отрезков,

узлы сетки: i = 0,1 ,...,n -1, a = x ₀ < x ₁ <...< b = x_n, x_i = a+i×h;

шаг разбиения постоянен: h =(b-a)/ n.

В итоге решения должна быть построена таблица

xi	x 0	x 1	…	xn
yi	y 0	y 1	…	yn

т.е. ищутся приближенные значения функции y (x_i) в узлах сетки x_i.

Умножая обе части на dx и интегрируя обе части уравнения (12.5) на частном отрезке [ х_i, х_{i+ 1}], получим

(12.6)

Основная проблема решения (12.6) заключается в том, что в правой части его стоит интеграл от неявной функции по х и у (х). Численные методы решения ОДУ (12.5) различаются способом приближенного расчета этого интеграла - его аппроксимацией.

Простейшим вариантом численного решения полученного соотношения (12.6) является численное интегрирование правой части при помощи формулы левых прямоугольников:

(12.7)

которое даст при подстановке в (12.3) явную формулу Эйлера:

у_{i+ 1} = у_i + h×f (х_i, y_i), i = 0,1 ,...,n -1. (12.8)

Порядок расчетов при численном решении:

1) зная х ₀, y ₀, f (х ₀, y ₀), находим у ₁ = у ₀ + h×f (х ₀, y ₀), затем

2) у ₂ = у ₁ + h×f (х ₁, y ₁) и т.д.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера (рис.12.1).Пользуясь тем, что в точке x ₀ известно решение y (x ₀) = y ₀ и значение его производной y¢ (x ₀) = f (х ₀, y ₀),можно записать уравнение касательной к графику искомой функции y = y (x) в точке (х ₀, y ₀): y= y ₀ + f (х ₀, y ₀)(х - х ₀). При достаточно малом шаге h ордината y ₁ = y ₀ + f (х ₀, y ₀)(х - х ₀) этой касательной, полученная подстановкой в правую часть значения х ₁ = х ₀ + h, должна мало отличаться от ординаты y (x ₁) точного решения y (x) задачи Коши. Следовательно, точка (х ₁, y ₁) пересечения касательной с прямой x = x ₁ может быть приближенно принята за новую начальную точку. Через эту точку снова проведем прямую y = y ₁ + f (х ₁, y ₁)(х - х ₁), которая приближенно отражает поведение касательной к y = y (x) в точке (х ₁, y ₁). Подставляя сюда х ₂ = х ₁ + h (т.е. пересечение с прямой x = x ₂), получим приближенное значение y (x) в точке x ₂: у ₂ = у ₁ + h×f (х ₁, y ₁) и т.д.

Рис.12.1. Геометрическая интерпретация метода Эйлера

Явный метод Эйлера имеет первый порядок точности (О (h ¹)), т.е. с уменьшением h в 10 раз точность результата повышается тоже в 10 раз.

Применение при интегрировании правой части уравнения (12.6) формулы правых прямоугольников:

приводит к методу

у_{i+ 1} = у_i + h×f (х_{i+ 1}, y_{i+ 1}), i = 0,1 ,...,n -1. (12.9)

Этот метод называют неявным методом Эйлера, поскольку для вычисления неизвестного значения у_{i+ 1} = у (х_{i+ 1}) по известному значению у_i» у (х_i) требуется решать уравнение, в общем случае достаточно сложное, нелинейное.

Неявный метод Эйлера имеет также первый порядок точности - О (h ¹).

Вопросы для проверки знаний.

1.Какие уравнения называют обыкновенными дифференциальными (ОДУ), что называют порядком ОДУ?

2. Какую форму представления ОДУ называют уравнением, разрешенным относительно старшей производной?

3. Какие функции называют общими решением ОДУ?

4. Какой вид имеют общие решения ОДУ и каким образом можно получить на их основе частное решение ОДУ?

5. Что называют точным (аналитическим) решением ОДУ?

6. В чем заключается численное частное решение ОДУ?

7. Какие существуют на основе ОДУ два типа задач, предусматривающих получение единственного решения ОДУ?

8. Какую задачу называют задачей Коши и что называют в ней начальными условиями?

9. Какую задачу называют краевой и что называют в ней краевыми или граничными условиями?

10. Какие уравнения называютдифференциальными уравнениями первого порядка, сколько для них задается дополнительных условий?

11. В какой форме определяется численного решение дифференциального уравнения первого порядка?

12. Каким образом выводят явную формулу Эйлера решения дифференциального уравнения первого порядка?

13. В чем заключается геометрическая интерпретация явного метода Эйлера?

14. Какой порядок точности имеет явный метод Эйлера?

15. Что называют неявной формулой Эйлера решения дифференциального уравнения первого порядка, в чем ее основной недостаток?