Классический метод Рунге — Кутты 4 порядка

Существуют стандартные схемы третьего порядка, которые не нашли широкого применения. Наибольшее распространение получила схема четвёртого порядка, которую зачастую и называют просто методом Рунге–Кутты.

Рассмотрим задачу Коши на отрезке [ а, b ] (12.2): у ' = f (x, y), y (а) = y ₀. На отрезке [ а, b ] введена равномерная сетка { a = x ₀ < x ₁ <...< b = x_n, x_i = a + i×h } с постоянным шагом h = (a - b)/ n. Допустим, после i шагов найдены значения искомой функции { у ₁, у ₂,... у_i } в узловых точках { х ₁, х ₂,... х_i }. Необходимо найти следующее значение искомой функции у_{i+ 1}в узле х_{i+ 1}.

Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

у_{i+ 1}= у_i + h ×(k ₁ + 2 k ₂ + 2 k ₃ + k ₄)/6; (i = 0,1,… n),

где k ₁ = f (x_i, y_i); k ₂ = f (x_i + h/ 2, y_i + hk ₁ / 2);

k ₃ = f (x_i + h/ 2, y_i + hk ₂ / 2); k ₄ = f (x_i + h, y_i + hk ₃). (12.13)

Геометрическим смысл использования метода Рунге-Кутта с расчетной схемой (12.13) состоит в разбиении одного шага длины h по оси х (как в методе Эйлера) на два половинных и расчете при значениях x = x_i, x_i + h/ 2, x_i + h четырех значений функции f (x, y):

1) k ₁ = f (x_i, y_i) - значение функции в начальной точке x = x_i,

2) k ₂ = f (x_i + h/ 2, y_i + hk ₁ / 2) - результат перемещения из точки x_i на шаг h/ 2 по касательной с углом ₁, для которого tg ₁ = f (x_i,y_i);

3) k ₃ = f (x_i + h/ 2, y_i + hk ₂ / 2) - уточненный расчет перемещения из точки x_i на шаг h/ 2 по касательной с углом ₂, для которого tg ₂ = f (x_i+h /2, y_i+k ₁/2);

4) k ₄ = f (x_i + h, y_i + hk ₃) - результат перемещения из точки x_i на полный шаг h по касательной с углом ₃, для которого tg ₃ = f(x_i+h /2 ,y_i+k ₂/2).

Полученные 4 значения усредняются в соответствии с первой формулой (12.13) с весовыми коэффициентами 1,2,2,1.

Метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном отрезке интегрирования имеет порядок O (h ⁴). При этом ошибка на каждом шаге имеет порядок O (h ⁵).

Пример. Решить методами: 1) явным Эйлера, 2) методом Хойна (модифицированный Эйлера), 3) Рунге – Кутты задачу Коши: у ' = 2(x ²+ y), y (0) = 1 на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,1:

Полученные значения функции сравнить с точным решением: у (x) = 1,5 е ^{2 х} - х ²- х -0,5.

Решение. Представим расчетные формулы по всем рассмотренным методам.

1. Явный метод Эйлера: у ₀ = 1; у_{i+ 1}= у_i + h ×2(x_i ²+ y_i), (i = 0,1,…,10, x_i = i × h).

2. Модифицированный метод Эйлера:

у ₀=1; у _{( i+ 1)п}= у_i + h× 2(x_i ²+ y_i), у_{i+ 1}= у_i +0,5 ×h× [2(x_i ²+ y_i)+ 2(x_{i+ 1}²+ у _{( i+ 1)п})], (i = 0,1,…,10, x_i = i × h).

3. Расчетные формулы метода Рунге – Кутты:

у ₀=1; k ₁ =2(x_i ²+ y_i), k ₂=2((x_i + h/ 2)²+ y_i + hk ₁ / 2), k ₃=2((x_i + h/ 2)²+ y_i + hk ₂ / 2),

k ₄ =2((x_i + h)²+ y_i + hk ₃), (i = 0,1,…,10, x_i = i × h).

Результаты расчета даны в Таблице 12.2.

Самым точным является решение, полученное по методу Рунге – Кутты.

Метод часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima). В основном используется метод четвертого порядка. Для повышения точности расчётов также применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка связано со значительным усложнением расчетной схемы.

Вопросы для проверки знаний.

1.Какую схему обобщают методы Рунге — Кутты?

2. В чем заключается основная идея методов Рунге — Кутты?

3. Как выводится расчетная схема метода Рунге — Кутты 2 порядка (метода Хойна) и какова его точность?

4. Какая расчетная схема метода Рунге — Кутты получила наибольшее распространение?

Таблица 12.2. y ₁, y ₂, y ₃ – расчеты по методам Эйлера, Хойна, Рунге Кутта, y _т – точное решение, D y ₁, D y ₂, D y ₃ – абсолютные погрешности методов Эйлера, Хойна, Рунге Кутта.

хi	y 1	y 2	y 3	y т	D y 1	D y 2	D y 3
	1.0000	1.0000	1.0000	1.0000	0.0000	0.0000	0.0000
0.1	1.2000	1.2210	1.2221	1.2221	0.0221	0.0011	0.0000
0.2	1.4420	1.4923	1.4977	1.4977	0.0557	0.0054	0.0000
0.3	1.7384	1.8284	1.8432	1.8432	0.1048	0.0148	0.0000
0.4	2.1041	2.2466	2.2783	2.2783	0.1742	0.0317	0.0000
0.5	2.5569	2.7680	2.8274	2.8274	0.2705	0.0594	0.0000
0.6	3.1183	3.4176	3.5201	3.5202	0.4019	0.1026	0.0001
0.7	3.8139	4.2257	4.3927	4.3928	0.5789	0.1671	0.0001
0.8	4.6747	5.2288	5.4894	5.4895	0.8148	0.2607	0.0001
0.9	5.7377	6.4704	6.8643	6.8645	1.1268	0.3941	0.0002
	7.0472	8.0032	8.5834	8.5836	1.5364	0.5804	0.0002