![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Существуют стандартные схемы третьего порядка, которые не нашли широкого применения. Наибольшее распространение получила схема четвёртого порядка, которую зачастую и называют просто методом Рунге–Кутты.
Рассмотрим задачу Коши на отрезке [ а, b ] (12.2): у ' = f (x, y), y (а) = y 0. На отрезке [ а, b ] введена равномерная сетка { a = x 0 < x 1 <...< b = xn, xi = a + i×h } с постоянным шагом h = (a - b)/ n. Допустим, после i шагов найдены значения искомой функции { у 1, у 2,... уi } в узловых точках { х 1, х 2,... хi }. Необходимо найти следующее значение искомой функции уi+ 1в узле хi+ 1.
Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:
уi+ 1= уi + h ×(k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4)/6; (i = 0,1,… n),
где k 1 = f (xi, yi); k 2 = f (xi + h/ 2, yi + hk 1 / 2);
k 3 = f (xi + h/ 2, yi + hk 2 / 2); k 4 = f (xi + h, yi + hk 3). (12.13)
Геометрическим смысл использования метода Рунге-Кутта с расчетной схемой (12.13) состоит в разбиении одного шага длины h по оси х (как в методе Эйлера) на два половинных и расчете при значениях x = xi, xi + h/ 2, xi + h четырех значений функции f (x, y):
1) k 1 = f (xi, yi) - значение функции в начальной точке x = xi,
2) k 2 = f (xi + h/ 2, yi + hk 1 / 2) - результат перемещения из точки xi на шаг h/ 2 по касательной с углом 1, для которого tg
1 = f (xi,yi);
3) k 3 = f (xi + h/ 2, yi + hk 2 / 2) - уточненный расчет перемещения из точки xi на шаг h/ 2 по касательной с углом 2, для которого tg
2 = f (xi+h /2, yi+k 1/2);
4) k 4 = f (xi + h, yi + hk 3) - результат перемещения из точки xi на полный шаг h по касательной с углом 3, для которого tg
3 = f(xi+h /2 ,yi+k 2/2).
Полученные 4 значения усредняются в соответствии с первой формулой (12.13) с весовыми коэффициентами 1,2,2,1.
Метод имеет четвёртый порядок точности, то есть суммарная ошибка на конечном отрезке интегрирования имеет порядок O (h 4). При этом ошибка на каждом шаге имеет порядок O (h 5).
Пример. Решить методами: 1) явным Эйлера, 2) методом Хойна (модифицированный Эйлера), 3) Рунге – Кутты задачу Коши: у ' = 2(x 2+ y), y (0) = 1 на отрезке [0, 1] с шагом h = 0,1:
Полученные значения функции сравнить с точным решением: у (x) = 1,5 е 2 х - х 2- х -0,5.
Решение. Представим расчетные формулы по всем рассмотренным методам.
1. Явный метод Эйлера: у 0 = 1; уi+ 1= уi + h ×2(xi 2+ yi), (i = 0,1,…,10, xi = i × h).
2. Модифицированный метод Эйлера:
у 0=1; у ( i+ 1)п= уi + h× 2(xi 2+ yi), уi+ 1= уi +0,5 ×h× [2(xi 2+ yi)+ 2(xi+ 12+ у ( i+ 1)п)], (i = 0,1,…,10, xi = i × h).
3. Расчетные формулы метода Рунге – Кутты:
у 0=1; k 1 =2(xi 2+ yi), k 2=2((xi + h/ 2)2+ yi + hk 1 / 2), k 3=2((xi + h/ 2)2+ yi + hk 2 / 2),
k 4 =2((xi + h)2+ yi + hk 3), (i = 0,1,…,10, xi = i × h).
Результаты расчета даны в Таблице 12.2.
Самым точным является решение, полученное по методу Рунге – Кутты.
Метод часто используется и реализована в различных математических пакетах (Maple, MathCAD, Maxima). В основном используется метод четвертого порядка. Для повышения точности расчётов также применяются схемы пятого и шестого порядков. Построение схем более высокого порядка связано со значительным усложнением расчетной схемы.
Вопросы для проверки знаний.
1.Какую схему обобщают методы Рунге — Кутты?
2. В чем заключается основная идея методов Рунге — Кутты?
3. Как выводится расчетная схема метода Рунге — Кутты 2 порядка (метода Хойна) и какова его точность?
4. Какая расчетная схема метода Рунге — Кутты получила наибольшее распространение?
Таблица 12.2. y 1, y 2, y 3 – расчеты по методам Эйлера, Хойна, Рунге Кутта, y т – точное решение, D y 1, D y 2, D y 3 – абсолютные погрешности методов Эйлера, Хойна, Рунге Кутта.
хi | y 1 | y 2 | y 3 | y т | D y 1 | D y 2 | D y 3 |
1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | |
0.1 | 1.2000 | 1.2210 | 1.2221 | 1.2221 | 0.0221 | 0.0011 | 0.0000 |
0.2 | 1.4420 | 1.4923 | 1.4977 | 1.4977 | 0.0557 | 0.0054 | 0.0000 |
0.3 | 1.7384 | 1.8284 | 1.8432 | 1.8432 | 0.1048 | 0.0148 | 0.0000 |
0.4 | 2.1041 | 2.2466 | 2.2783 | 2.2783 | 0.1742 | 0.0317 | 0.0000 |
0.5 | 2.5569 | 2.7680 | 2.8274 | 2.8274 | 0.2705 | 0.0594 | 0.0000 |
0.6 | 3.1183 | 3.4176 | 3.5201 | 3.5202 | 0.4019 | 0.1026 | 0.0001 |
0.7 | 3.8139 | 4.2257 | 4.3927 | 4.3928 | 0.5789 | 0.1671 | 0.0001 |
0.8 | 4.6747 | 5.2288 | 5.4894 | 5.4895 | 0.8148 | 0.2607 | 0.0001 |
0.9 | 5.7377 | 6.4704 | 6.8643 | 6.8645 | 1.1268 | 0.3941 | 0.0002 |
7.0472 | 8.0032 | 8.5834 | 8.5836 | 1.5364 | 0.5804 | 0.0002 |
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 1903 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!