Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Одношаговые и многошаговые методы интегрирования ОДУ первого порядка. Методы Адамса



Методы Эйлера, Хойна, Рунге-Кутты интегрирования ОДУ первого порядка используют при нахождении решения в следующем узле хi+ 1 найденные значения функции y (x) и ее производной f (x,y (x)) только в одном предшествующем узле (yi и fi), поэтому их называют одношаговыми методами. Точность вычислений при интегрировании можно увеличить, если использовать информацию о значениях функции и ее производной, полученных не в одном, а в нескольких (k> 1) предыдущих узлах сетки интегрирования. Такие методы интегрирования ОДУ называют k - шаговыми или многошаговыми.

12.4.1.Явные методы Адамса

Рассмотрим интегрирование ОДУ первого порядка на равномерной сетке. Заменяя в выражении (12.6) подынтегральную функцию f (x,y (x)) полиномом pN (x) степени N, аппроксимирующим ее, получим расчетную схему вида:

(12.14)

Если принять на каждом частном отрезке [ хi, хi+ 1] в качестве аппроксимирующего простейшим полиномом степени N= 0: р 0(х) = f (xi,yi) =const, то получим обычный одношаговый явный методЭйлера.

Если рассмотреть k> 1 и в качестве аппроксимирующего для функции f (x,y (x)) на частном отрезке [ хi, хi+ 1] принять полином pk- 1(x) наименьшей степени N=k- 1, точно проходящий через ранее найденные узловые значения (хi, fi), (хi -1, fi -1),...,(хi - k +1, fi - k +1) (интерполирующий их), то данную группу методов называют явными методами Адамса или методами Адамса-Башфорта.

По данному определению методЭйлера является одношаговым (k= 1) вариантом явного метода Адамса.

В расчетной схеме методов Адамса-Башфорта используются уже известные значения х и функции f (x,y (x)) в точке xi и в предыдущих точках - {(хi, fi), (хi -1, fi -1),...,(хi - k +1, fi - k +1)}. Поэтому в данных методах помимо вычисления интерполяционного многочлена pk- 1(x) и его интегрирования на отрезке [ хi, хi+ 1] не требуется выполнять никаких расчетных действий.

Общий алгоритм построения расчетной схемы k -шагового метода Адамса-Башфорта на равномерных сетках включает: а) построение интерполирующего многочлена pk -1(х), точно проходящего через узлы (хi, fi), (хi -1, fi -1),...,(хi - k +1, fi - k +1) (допустим в форме интерполяционного многочлена Ньютона), б) интегрирование полученного многочлена pk -1(х) на отрезке [ xi, xi+ 1], в) подстановку полученного выражения в общую схему (12.4).

Рассмотрим построение расчетных схем методов Адамса-Башфорта с числом шагов k >1 на равномерных сетках с шагом h, у которых xi = x 0 + i×h.

k = 2. p 1(x) - линейная функция, проходящая через два узла (xi - 1 = x 0 + (i -1) ×h, fi - 1) и (xi = x 0 + i×h, fi). Введя для простоты переменную t = x - xi - 1, которая изменяется на отрезке [ xi - 1, xi ] от 0 до h, а на отрезке [ xi, xi+ 1] от h до2 h, получим:

p 1(t) = fi - 1 + t × (fi - fi - 1) /h.

Интегрируя этот полином по t от h до2 h, в (12.14) получим:

Расчетная схема двухшагового метода (k= 2) следующая:

yi+ 1 =yi + h (3 fi - fi- 1)/2. (12.15)

k = 3. p 2(x) - квадратичная парабола, проходящая через три узла (xi - 2 = x 0 + (i -2) ×h, fi - 2), (xi - 1 = x 0 + (i -1) ×h, fi - 1) и (xi = x 0 + i×h, fi). Выполняя аналогичные действия, получим расчетную схему трехшагового метода (k= 3):

yi+ 1 =yi + h (23 fi -16 fi- 1 + 5 fi - 2 )/12. (12.16)

k = 4. p 3(x) - кубическая парабола, проходящая через четыре узла (xi- 3, fi- 3) - (xi, fi). Расчетная схема четырехшагового метода (k= 3):

yi+ 1 =yi + h (55 fi - 59 fi- 1 + 37 fi - 2 - 9 fi- 3)/24. (12.17)

Главным преимуществом явных методов Адамса является получение по расчетной схеме готового очередного приближения yi+ 1искомой функции y (x). Однако у неявных методов может быть получена более высокая точность за счет дополнительного уточнения значений, получаемых предварительно по расчетной схеме явного метода Адамса.

12.4.2. Неявные методы Адамса

В рассмотренных k -шаговых явных методах Адамса (Адамса-Башфорта) используются уже известные значения функции f (x,y (x)) в текущем и предыдущих узлах - { хi, хi -1,,..., хi - k +1}. Однако при построении формулы интерполяционного полинома могут быть использованы и узлы { xi+ 1, xi+ 2,... } с еще неизвестными значениями f (x,y (x)). В простейшем случае построение интерполяционного полинома pk- 1(x) степени k производится по узловым точкам xi+ 1, xi, …, xi-k (pk -1(xj)= fj, j= i+ 1, i,...,i-N). Данную группу методов называют неявными методами Адамса или методами Адамса-Моултона. Они дают большую точность по сравнению с явными методами.

Общий алгоритм построения расчетной схемы k -шагового метода Адамса-Моултона на равномерных сетках аналогичен алгоритму для k -шагового явного метода Адамса с той разницей, что интерполирующий многочлен pk -1(x) строится по узлам (хi +1, fi +1), (хi, fi),...,(хi - k, fi - k).

k =2. p 1(x) - линейная функция, проходящая через два узла (xi = x 0 + i×h, fi) и (xi+ 1 = x 0 + (i +1) ×h, fi+ 1). Введя переменную t = x - xi, которая изменяется на отрезке [ xi, xi+ 1] от 0 до h, получим:

p 1(t) = fi + t × (fi+ 1 - fi ) /h.

Интегрируя p 1(t) по t от 0 до h, в (12.14) получим для интеграла формулу трапеции:

Расчетная схема двухшагового неявного метода Адамса (k= 2) следующая:

yi+ 1 = yi + h (fi+ 1 + fi)/2. (12.18)

k =3. p 2(x) - квадратичная парабола, проходящая через три узла (xi- 1 = x 0 + (i -1) ×h,fi- 1), (xi = x 0 + i×h, fi) и (xi+ 1 = x 0 + (i +1) ×h, fi+ 1). В форме интерполяционного полинома Ньютона данная парабола имеет вид:

p 2(t) = fi- 1 + (1/ h) × (fi - fi- 1) × (x-xi- 1) + 0,5 × (1/ h 2) × (fi+ 1 - 2 fi + fi- 1) × (x-xi) × (x-xi- 1).

С учетом (x-xi) = (x-xi- 1- h) интерполяционный полином принимает вид:

p 2(t) = fi- 1 + 0,5 × (1/ h) × (- fi+ 1 + 4 fi - 3 fi- 1) × (x-xi- 1) + 0,5 × (1/ h 2) × (fi+ 1 - 2 fi + fi- 1) × (x-xi- 1) 2.

Введя переменную t = x - xi- 1, которая изменяется на отрезке [ xi, xi+ 1] от h до 2 h, и интегрируя p 2(t) по t от h до 2 h, в формуле (12.14) получим:

Расчетная схема трехшагового неявного метода Адамса (k= 3) следующая:

yi+ 1 =yi + h (fi+ 1 + 6 fi - 3 fi- 1)/4. (12.19)

Выполняя аналогичный вывод при k= 4, получим расчетную схему четырехшагового неявного метода Адамса:

yi+ 1 =yi + h (9 fi+ 1 + 19 fi - 5 fi- 1- fi- 2)/24. (12.20)

В формулах (12.18) - (12.20) значение fi+ 1 = f (xk+ 1, yk+ 1), равное (yi+ 1 -yi)/ h, неизвестно. Схемы являются неявными, поскольку неизвестная величина yi+ 1 входит и в левые и в правые части их уравнений. Поэтому для их решения относительно yi+ 1 и узлового значения производной fi+ 1 (которое требуется в дальнейших расчетах) необходимо использовать дополнительные методы. Сущность данных методов обычно заключается в уточнении некоторого грубого начального приближения значений yi+ 1 и fi+ 1. При правильном уточнении в неявных методах Адамса можно получить более высокую точность по сравнению с соответствующими явными, однако данное дополнительное уточнение существенно усложняет их реализацию. Методы, применяемые при полном расчете значений yi+ 1 и fi+ 1 с использованием неявных схем Адамса, относятся к группе более общих математических методов прогноза и коррекции.

В методах Адамса для расчета очередных величин yi+ 1 и fi+ 1 применяются только ранее найденные узловые значения производной fj и последнее значение искомой функции yi.

Общим недостатком многошаговых методов (k >2) является невозможность их старта из единственной начальной точки (x 0, у 0), так как для начала вычислений по k -шаговой формуле необходимо знать узловые величины производной fj в k предыдущих узлах. Поэтому помимо заданного в задаче Коши начального значения у (x 0)= у 0 приходится определять (k- 1) решение в начальных узлах x 1, x 2, …, xk- 1 с помощью какого-либо одношагового метода, например метода Рунге-Кутта 4–го порядка. Другой проблемой является сложность изменения шага в процессе решения, что легко реализуется в одношаговых методах. При числах шагов k > 2 методы могут расходиться.

При увеличении числа шагов k у интерполирующих многочленов pk -1(x) начинает проявляться еще один недостаток - повышенная осцилляция, что также ограничивает рациональные величины k в методах Адамса.

Вопросы для проверки знаний.

1. В чем заключается различие одношаговых методов решения ОДУ первого порядка от k -шаговых (многошаговых)?

2. Какова основная идея явных методов Адамса (методов Адамса-Башфорта)?

3. Какие шаги содержит общий алгоритм построения расчетной схемы k -шагового метода Адамса-Башфорта на равномерных сетках?

4. Каковы общие преимущества и недостатки явных методов Адамса?

5. Какова основная идея неявных методов Адамса (методов Адамса-Моултона)?

6. В чем заключается основное отличие общего алгоритма построения расчетной схемы k -шагового метода Адамса-Моултона на равномерных сетках от аналогичного алгоритма для явного метода Адамса?

7. Почему расчетные схемы методов Адамса-Моултона являются неявными и каков обычный подход к их практической реализации?

8. Почему многошаговые методы не могут стартовать, подобно одношаговым, из единственной начальной точки (x 0, у 0)?





Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 2764 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.006 с)...