Одношаговые и многошаговые методы интегрирования ОДУ первого порядка. Методы Адамса

Методы Эйлера, Хойна, Рунге-Кутты интегрирования ОДУ первого порядка используют при нахождении решения в следующем узле х_{i+ 1} найденные значения функции y (x) и ее производной f (x,y (x)) только в одном предшествующем узле (y_i и f_i), поэтому их называют одношаговыми методами. Точность вычислений при интегрировании можно увеличить, если использовать информацию о значениях функции и ее производной, полученных не в одном, а в нескольких (k> 1) предыдущих узлах сетки интегрирования. Такие методы интегрирования ОДУ называют k - шаговыми или многошаговыми.

12.4.1.Явные методы Адамса

Рассмотрим интегрирование ОДУ первого порядка на равномерной сетке. Заменяя в выражении (12.6) подынтегральную функцию f (x,y (x)) полиномом p_N (x) степени N, аппроксимирующим ее, получим расчетную схему вида:

(12.14)

Если принять на каждом частном отрезке [ х_i, х_{i+ 1}] в качестве аппроксимирующего простейшим полиномом степени N= 0: р ₀(х) = f (x_i,y_i) =const, то получим обычный одношаговый явный методЭйлера.

Если рассмотреть k> 1 и в качестве аппроксимирующего для функции f (x,y (x)) на частном отрезке [ х_i, х_{i+ 1}] принять полином p_{k- 1}(x) наименьшей степени N=k- 1, точно проходящий через ранее найденные узловые значения (х_i, f_i), (х_{i -1}, f_{i -1}),...,(х_{i - k +1}, f_{i - k +1}) (интерполирующий их), то данную группу методов называют явными методами Адамса или методами Адамса-Башфорта.

По данному определению методЭйлера является одношаговым (k= 1) вариантом явного метода Адамса.

В расчетной схеме методов Адамса-Башфорта используются уже известные значения х и функции f (x,y (x)) в точке x_i и в предыдущих точках - {(х_i, f_i), (х_{i -1}, f_{i -1}),...,(х_{i - k +1}, f_{i - k +1})}. Поэтому в данных методах помимо вычисления интерполяционного многочлена p_{k- 1}(x) и его интегрирования на отрезке [ х_i, х_{i+ 1}] не требуется выполнять никаких расчетных действий.

Общий алгоритм построения расчетной схемы k -шагового метода Адамса-Башфорта на равномерных сетках включает: а) построение интерполирующего многочлена p_{k -1}(х), точно проходящего через узлы (х_i, f_i), (х_{i -1}, f_{i -1}),...,(х_{i - k +1}, f_{i - k +1}) (допустим в форме интерполяционного многочлена Ньютона), б) интегрирование полученного многочлена p_{k -1}(х) на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}], в) подстановку полученного выражения в общую схему (12.4).

Рассмотрим построение расчетных схем методов Адамса-Башфорта с числом шагов k >1 на равномерных сетках с шагом h, у которых x_i = x ₀ + i×h.

k = 2. p ₁(x) - линейная функция, проходящая через два узла (x_{i - 1} = x ₀ + (i -1) ×h, f_{i - 1}) и (x_i = x ₀ + i×h, f_i). Введя для простоты переменную t = x - x_{i - 1}, которая изменяется на отрезке [ x_{i - 1}, x_i ] от 0 до h, а на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}] от h до2 h, получим:

p ₁(t) = f_{i - 1} + t × (f_i - f_{i - 1}) /h.

Интегрируя этот полином по t от h до2 h, в (12.14) получим:

Расчетная схема двухшагового метода (k= 2) следующая:

y_{i+ 1} =y_i + h (3 f_i - f_{i- 1})/2. (12.15)

k = 3. p ₂(x) - квадратичная парабола, проходящая через три узла (x_{i - 2} = x ₀ + (i -2) ×h, f_{i - 2}), (x_{i - 1} = x ₀ + (i -1) ×h, f_{i - 1}) и (x_i = x ₀ + i×h, f_i). Выполняя аналогичные действия, получим расчетную схему трехшагового метода (k= 3):

y_{i+ 1} =y_i + h (23 f_i -16 f_{i- 1} + 5 f_{i - 2} )/12. (12.16)

k = 4. p ₃(x) - кубическая парабола, проходящая через четыре узла (x_{i- 3}, f_{i- 3}) - (x_i, f_i). Расчетная схема четырехшагового метода (k= 3):

y_{i+ 1} =y_i + h (55 f_i - 59 f_{i- 1} + 37 f_{i - 2} - 9 f_{i- 3})/24. (12.17)

Главным преимуществом явных методов Адамса является получение по расчетной схеме готового очередного приближения y_{i+ 1}искомой функции y (x). Однако у неявных методов может быть получена более высокая точность за счет дополнительного уточнения значений, получаемых предварительно по расчетной схеме явного метода Адамса.

12.4.2. Неявные методы Адамса

В рассмотренных k -шаговых явных методах Адамса (Адамса-Башфорта) используются уже известные значения функции f (x,y (x)) в текущем и предыдущих узлах - { х_i, х_{i -1},,..., х_{i - k +1}}. Однако при построении формулы интерполяционного полинома могут быть использованы и узлы { x_{i+ 1}, x_{i+ 2},... } с еще неизвестными значениями f (x,y (x)). В простейшем случае построение интерполяционного полинома p_{k- 1}(x) степени k производится по узловым точкам x_{i+ 1}, x_i, …, x_i-k (p_{k -1}(x_j)= f_j, j= i+ 1, i,...,i-N). Данную группу методов называют неявными методами Адамса или методами Адамса-Моултона. Они дают большую точность по сравнению с явными методами.

Общий алгоритм построения расчетной схемы k -шагового метода Адамса-Моултона на равномерных сетках аналогичен алгоритму для k -шагового явного метода Адамса с той разницей, что интерполирующий многочлен p_{k -1}(x) строится по узлам (х_{i +1}, f_{i +1}), (х_i, f_i),...,(х_{i - k}, f_{i - k}).

k =2. p ₁(x) - линейная функция, проходящая через два узла (x_i = x ₀ + i×h, f_i) и (x_{i+ 1} = x ₀ + (i +1) ×h, f_{i+ 1}). Введя переменную t = x - x_i, которая изменяется на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}] от 0 до h, получим:

p ₁(t) = f_i + t × (f_{i+ 1} - f_i ) /h.

Интегрируя p ₁(t) по t от 0 до h, в (12.14) получим для интеграла формулу трапеции:

Расчетная схема двухшагового неявного метода Адамса (k= 2) следующая:

y_{i+ 1} = y_i + h (f_{i+ 1} + f_i)/2. (12.18)

k =3. p ₂(x) - квадратичная парабола, проходящая через три узла (x_{i- 1} = x ₀ + (i -1) ×h,f_{i- 1}), (x_i = x ₀ + i×h, f_i) и (x_{i+ 1} = x ₀ + (i +1) ×h, f_{i+ 1}). В форме интерполяционного полинома Ньютона данная парабола имеет вид:

p ₂(t) = f_{i- 1} + (1/ h) × (f_i - f_{i- 1}) × (x-x_{i- 1}) + 0,5 × (1/ h ²) × (f_{i+ 1} - 2 f_i + f_{i- 1}) × (x-x_i) × (x-x_{i- 1}).

С учетом (x-x_i) = (x-x_{i- 1}- h) интерполяционный полином принимает вид:

p ₂(t) = f_{i- 1} + 0,5 × (1/ h) × (- f_{i+ 1} + 4 f_i - 3 f_{i- 1}) × (x-x_{i- 1}) + 0,5 × (1/ h ²) × (f_{i+ 1} - 2 f_i + f_{i- 1}) × (x-x_{i- 1}) ².

Введя переменную t = x - x_{i- 1}, которая изменяется на отрезке [ x_i, x_{i+ 1}] от h до 2 h, и интегрируя p ₂(t) по t от h до 2 h, в формуле (12.14) получим:

Расчетная схема трехшагового неявного метода Адамса (k= 3) следующая:

y_{i+ 1} =y_i + h (f_{i+ 1} + 6 f_i - 3 f_{i- 1})/4. (12.19)

Выполняя аналогичный вывод при k= 4, получим расчетную схему четырехшагового неявного метода Адамса:

y_{i+ 1} =y_i + h (9 f_{i+ 1} + 19 f_i - 5 f_{i- 1}- f_{i- 2})/24. (12.20)

В формулах (12.18) - (12.20) значение f_{i+ 1} = f (x_{k+ 1}, y_{k+ 1}), равное (y_{i+ 1} -y_i)/ h, неизвестно. Схемы являются неявными, поскольку неизвестная величина y_{i+ 1} входит и в левые и в правые части их уравнений. Поэтому для их решения относительно y_{i+ 1} и узлового значения производной f_{i+ 1} (которое требуется в дальнейших расчетах) необходимо использовать дополнительные методы. Сущность данных методов обычно заключается в уточнении некоторого грубого начального приближения значений y_{i+ 1} и f_{i+ 1}. При правильном уточнении в неявных методах Адамса можно получить более высокую точность по сравнению с соответствующими явными, однако данное дополнительное уточнение существенно усложняет их реализацию. Методы, применяемые при полном расчете значений y_{i+ 1} и f_{i+ 1} с использованием неявных схем Адамса, относятся к группе более общих математических методов прогноза и коррекции.

В методах Адамса для расчета очередных величин y_{i+ 1} и f_{i+ 1} применяются только ранее найденные узловые значения производной f_j и последнее значение искомой функции y_i.

Общим недостатком многошаговых методов (k >2) является невозможность их старта из единственной начальной точки (x ₀, у ₀), так как для начала вычислений по k -шаговой формуле необходимо знать узловые величины производной f_j в k предыдущих узлах. Поэтому помимо заданного в задаче Коши начального значения у (x ₀)= у ₀ приходится определять (k- 1) решение в начальных узлах x ₁, x ₂, …, x_{k- 1} с помощью какого-либо одношагового метода, например метода Рунге-Кутта 4–го порядка. Другой проблемой является сложность изменения шага в процессе решения, что легко реализуется в одношаговых методах. При числах шагов k > 2 методы могут расходиться.

При увеличении числа шагов k у интерполирующих многочленов p_{k -1}(x) начинает проявляться еще один недостаток - повышенная осцилляция, что также ограничивает рациональные величины k в методах Адамса.

Вопросы для проверки знаний.

1. В чем заключается различие одношаговых методов решения ОДУ первого порядка от k -шаговых (многошаговых)?

2. Какова основная идея явных методов Адамса (методов Адамса-Башфорта)?

3. Какие шаги содержит общий алгоритм построения расчетной схемы k -шагового метода Адамса-Башфорта на равномерных сетках?

4. Каковы общие преимущества и недостатки явных методов Адамса?

5. Какова основная идея неявных методов Адамса (методов Адамса-Моултона)?

6. В чем заключается основное отличие общего алгоритма построения расчетной схемы k -шагового метода Адамса-Моултона на равномерных сетках от аналогичного алгоритма для явного метода Адамса?

7. Почему расчетные схемы методов Адамса-Моултона являются неявными и каков обычный подход к их практической реализации?

8. Почему многошаговые методы не могут стартовать, подобно одношаговым, из единственной начальной точки (x ₀, у ₀)?