Численные методы решения ОДУ и систем ОДУ высоких порядков

Обыкновенное дифференциальное уравнение с неизвестной функцией y (t), в которое входят производные этой функции вплоть до y ^{( N )} (t), называются ОДУ N -го порядка. Если имеется такое уравнение, то для корректной постановки задачи Коши требуется задать N начальных условий на саму функцию y (t) и ее производные от первого до (N -1)-го порядка включительно. Для решения задач Коши для ОДУ высших порядков можно использовать прямые методы, а также сводить их к системам уравнений первого порядка.

Рассмотрим в общем виде задачу Коши для уравнения второго порядка относительно функции у (x):

d ² у / dx ²= f (x, у, dу / dx),

у (x ₀) = у ₀, dу / dx (x ₀) = z ₀. (12.27)

Если использовать метод сведения к системе уравнений первого порядка, то необходимо ввести вторую неизвестную функцию z (x)= dу / dx. Тогда задача Коши (12.27) второго порядкадля одной функции у (x) будет заменена следующей эквивалентной системой из двух уравнений первой степени относительно двух функций у (x) и z (x):

dу / dx = z (x),

dz / dx = f (x, у, z),

у (x ₀) = у ₀, z (x ₀) = z ₀. (12.28)

Полученная система (12.28) представляет собой частный случай общей задачи (12.23) при j(x, у, z) = z (x), y(x, у, z) = f (x, у, z).

Пример. Найти численное решение задачи Коши для уравнения второго порядка:

d ² у / dx ²+ 2 dу / dx+ у (x) = x, у (0) = 1, dу / dx (0) = 0

на отрезке [0,1] с шагом h = 0,2 а) явным методом Эйлера, б) методом Хойна (модифицированным методом Эйлера) и в) методом Рунге – Кутта. Результаты расчетов сравнить с точным решением: у (x) = 3 e^-x +2 xe^-x + x - 2.

Введем функцию z (x)= dу / dx. Тогда получим эквивалентную задачу Коши для системы двух ОДУ первого порядка:

dу / dx = z (x),

dz / dx = x - 2 dу / dx - у (x) = x - 2 z (x) - у (x),

у (0) = 1, z (0) = dу / dx (0) = 0.

Расчетные схемы (12.24)-(12.26) принимают следующий вид.

1. Явный метод Эйлера:

2. Метод Хойна (модифицированный метод Эйлера):

3. Метод Рунге – Кутта:

Узловые значения x_i, точные значения (y _{т i}) функции у (x), результаты расчета по явной схеме Эйлера (y _т, y ₁, z ₁,D y ₁=ï y _т- y ₁ï), а также по методу Хойна (y ₂, z ₂,D y ₂=ï y _т- y ₂ï) приведены в Таблице 12.3.

Таблица 12.3. Результаты расчета по явной схеме Эйлера и методу Хойна

xi	y т i	y 1 i	z 1 i	D y 1 i	y 2 i	z 2 i	D y 2 i
0.2	0.983685		-0.2	0.016315		-0.18	0.016315
0.4	0.947216	0.96	-0.28	0.012784	0.962	-0.244	0.014784
0.6	0.905009	0.904	-0.28	0.001009	0.9096	-0.2314	0.004591
0.8	0.866913	0.848	-0.2288	0.018913	0.85846	-0.17048	0.008453
	0.839397	0.80224	-0.14688	0.037157	0.818532	-0.08127	0.020865

Результаты расчета по cхеме Рунге - Кутта (x_i, y _{т i}, k _{1 i} - k _{4 i}, y _{3 i}, D y ₃=ï y _{т i} - y _{3 i} ï) приведены в Таблице 12.4.

Таблица 12.4. Результаты расчета по cхеме Рунге - Кутта

xi	y т i	k 1 i	k 2 i	k 3 i	k 4 i	y 3 i	D y 3 i
			-0,1	-0,07	-0,15
0,2	0,9836	-0,1462	-0,1953	-0,1740	-0,2094	0,9635	0,0201
0,4	0,9472	-0,2065	-0,2199	-0,2050	-0,2095	0,9213	0,0259
0,6	0,9050	-0,2073	-0,1963	-0,1865	-0,1698	0,8832	0,0218
0,8	0,8669	-0,1682	-0,1412	-0,1350	-0,1048	0,8557	0,0112
	0,8394	-0,1036	-0,0668	-0,0631	-0,0249	0,8428	-0,0034

При решении систем ОДУ N -го порядка, у которых максимальный порядок уравнений равен N, используется тот же принцип, что и для отдельных уравнений - сведение их к системам уравнений первого порядка.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какое дифференциальное уравнение называют ОДУ N -го порядка?

2. Какие начальные условия должны быть заданы в начальной точке для корректной постановки задачи Коши с ОДУ N -го порядка?

3. Какие два основных способы можно применить для решения задачи Коши с ОДУ N -го порядка?

4. Как задачу Коши для уравнения второго порядка приводится к эквивалентной системе с двумя линейными ОДУ?