![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Неявные методы Адамса решения ОДУ первого порядка более точны по сравнению с явными схемами. Однако у них на завершающем этапе расчета схемы необходимо решать нелинейное в общем случае уравнение относительно величины yi+ 1 искомой функции y (х) в конечной точке хi+ 1 текущего шага интегрирования.
Методами прогноза и коррекции (которые также называют предсказывающе-исправляющими методами или схемами " предиктор-корректор ") в вычислительной математике называют группу методов численного решения различных задач, у которых каждый шаг состоит из двух основных действий. Первое (предиктор) заключается в вычислении грубого начального приближения искомой величины, выполняется однократно. Второе действие (корректор) уточняет его. Данное действие может выполняться как однократно, так и итерационно неограниченное число раз - для достижения требуемой точности. В зависимости от сочетания предиктора (способа расчета начального приближения) и корректора (способа его уточнения) могут быть получены различные варианты численных методов решения задач рассматриваемого вида.
При использовании методов прогноза и коррекции в решении ОДУ можно получить высокую точность расчета. Наиболее просто принцип прогноза и коррекции может быть реализован при помощи методов Адамса, в которых для расчета очередных величин yi+ 1 и fi+ 1.применяются только ранее найденные узловые значения производной fj и последнее значение искомой функции yi. В этом случае явный метод Адамса (Адамса-Башфорта) используется в качестве предиктора, а неявный (Адамса-Мултона) - в качестве корректора. Рассмотрим примеры построения таких методов.
1. Рассмотренный ранее метод (схема) Хойна (12.12), в котором предиктором является метод Эйлера (12.8) - простейший одношаговый (k= 1) вариант явного метода Адамса, сводящийся к интегрированию f (x, y) на частных отрезках по формуле левого прямоугольника. В качестве корректора используется простейший двухшаговый (k= 2) неявный метод Адамса (12.15), в котором интегрирование f (x, y) выполняется по методу трапеций. Получаемая точность метода O (h 2).
2. Также часто используется сочетание 4-х шаговых методов Адамса: предиктор — явная 4-х шаговая формула Адамса, корректор — неявная 4-х шаговая формула Адамса. Точность метода O (h 4).
Альтернативным подходом к применению методов Адамса при построении расчетных схем в методах прогноза и коррекции является применение как в предикторах, так и в корректорах не полиномов, зависящих от узловых значений производной fj и последнего значения искомой функции yi (как в методах Адамса), а более сложных выражений, предусматривающих наряду с искомыми yi+ 1 и fi+ 1 расчет и последующее использование в формулах вспомогательных величин. За счет этого удается повысить точность методов.
Наиболее употребительными методами прогноза и коррекции данного типа при решении ОДУ первого порядка являются следующие.
1. Метод Милна. Метод четырехшаговый, причем в узле хi- 3 используется не производная fi- 3, а значение функции yi- 3. Выполняются следующие действия:
а) вычисляют начальное "грубое" значение yi+ 1 искомой функции y (х)в узле i+ 1:
yi+ 1* = yi- 3 + (4 h /3) × (2 fi - fi- 1 +2 fi- 2);
б) рассчитывают производную y (х)в узле i+ 1 при грубом значении yi+ 1*:
fi+ 1* = f (xi+ 1 ,yi+ 1*);
в) по fi+ 1* определяют итоговое уточненное значение yi+ 1 функции y (х)в узле i+ 1, а также соответствующее значение производной fi+ 1:
yi+ 1 = yi- 1 + (1/3) × h× (fi- 1 + 4 fi + fi+ 1*),
fi+ 1 = f (xi+ 1 ,yi+ 1). (12.21)
Точность метода O (h 5).
2. Метод (формулы) Хемминга, в которых сначала вычисляется "прогноз" yi+ 1*, затем - "поправка" Dyi+ 1, затем "коррекция" yi+ 1**, и только потом - итоговое приближенное решение yi+ 1. Метод четырехшаговый. При вычислении прогнозных значений и их коррекции используются не только узловые значения производной f (x,y (x)), но значения в узлах искомой функции y (х) и вспомогательных величин.
yi+ 1* = (2 yi- 1 + yi- 2)/3 + h× (191 fi - 107 fi- 1 +109 fi- 2 - 25 fi- 3)/72;
Dyi+ 1 = yi+ 1* - (707/750) × (yi *- yi **);
yi+ 1** = (2 yi- 1 + yi- 2)/3 + h× (25 f (xi+ 1 ,Dyi+ 1) + 91 fi + 43 fi- 1 +9 fi- 2)/72;
yi+ 1 = yi+ 1** +(43/750)(yi+ 1* - yi+ 1**). (12.22)
Точность метода O (h 6).,
В двух последних методах прогноза и коррекции за счет отказа от использования интерполяционных полиномов и перехода к более общим формулам удалось повысить порядок метода при том же самом числе шагов, что и в 4-х шаговом методе Адамса.
12.5.1. Итерационная реализация методов прогноза и коррекции
Априорные оценки теоретически позволяют рассчитать предельные значения абсолютных погрешностей для получаемых численных решений дифференциальных уравнений. Поскольку такие оценки выражаются через производные интегрируемых функций, то, фактически, их основное назначение - задавать степень точности метода по шагу интегрирования h, т.е. определять пропорциональность изменения точности некоторой степени от h.
Например, если явный метод Эйлера имеет первый порядок точности О (h 1), то с уменьшением h в 10 раз точность результата повышается тоже в 10 = 101 раз. Метод Рунге-Кутты обладает 4 порядком точности О (h 4), при уменьшении шага в 10 раз, результат улучшается в 10 000 = 104 раз. Поскольку этот метод по сравнению с методом Эйлера использует всего в 4 раза больше вычислений, то использование его более выгодно. С повышением порядка точности метода возрастает сложность его алгоритма.
Назовем для краткости рассмотренные методы решения неявных уравнений методами с однократным уточнением, поскольку в них коррекция производится путем разового расчета по заданным формулам. Положительным свойством данных неявных методов интегрирования ОДУ первого порядка является то, что объем вычислений в их алгоритмах заранее известен за счет того, что при заданной постоянной длине шага h интегрирования на каждом из частных отрезков [ xi, xi+ 1] они однократно выполняют заданный набор операций для численного определения решения - значения y ( i+ 1) искомой функции y (х) в конечной точке отрезка xi+ 1 и ее производной fi+ 1. Это позволяет по известной производительности вычислительного устройства заранее оценивать время счета алгоритма, что существенно для систем, работающих в реальном времени.
Однако в тех случаях, когда необходимо гарантированно достичь заранее заданной точности интегрирования e на каждом шаге решения (а не той, которая гарантируется априорной оценкой) при отсутствии ограничения на полное время решения задачи Коши, можно использовать итерационные варианты методов прогноза и коррекции. В них однократное начальное предсказание y ( i+ 1)0 значения искомой функции y (х) в конечной точке xi+ 1 текущего отрезка [ xi, xi+ 1] производится по тому же предиктору, что и в обычном методе. Затем полученное приближение уточняется не один раз, а многократно итерационным способом с получением последовательности приближенных решений { y ( i+ 1) р , р =1,...} для y ( i+ 1). Расчет производится до тех пор, пока изменение вычисляемых значений функции y ( i+ 1) р не станет меньше, чем заранее заданная предельная величина e: ï y ( i+ 1) р - y ( i+ 1)(р- 1)ï< e.
Рассмотрим применение итерационного метода прогноза и коррекции на основе простейшего метода Хойна решения неявного уравнения метода Эйлера (12.9). Как и ранее, ищется решение задачи Коши на отрезке [ а, b ] (12.2): у ' = f (x, y), y (а) = y 0. Допустим, после i шагов найдены значения искомой функции { у 1, у 2,... уi } в узловых точках { х 1, х 2,... хi } и требуется найти очередное значение искомой функции уi+ 1в узле хi+ 1.
Алгоритм решения ОДУ первого порядка на частичном отрезке по итерационному варианту метода Хойна.
I. р = 0. Предсказание (прогноз) значения функции f (x, y) на правом конце шагав узле хi+ 1 выполняется по методу левых прямоугольников: y ( i+ 1)0 = yi + fi · h.
II. Итерационное уточнение начального значения.
1. р: = р +1.
2. Расчет производной в узле хi+ 1 подстановкой y ( i+ 1)(р -1) в исходное уравнение:
f ( i+ 1) р = f (хi+ 1, y ( i+ 1)(р -1)).
3. Уточняющий расчет очередного значения y ( i+ 1) р для искомой функции по методу трапеций:
y (i+ 1) р = yi + (fi + f (i+ 1) р)/2.
4. Проверка точности полученного приближения:
| y ( i+ 1) р – y ( i+ 1)(р -1)| = | f ( i+ 1) р – f ( i+ 1)(р -1)| > e.
Если условие выполнено (приращение значения yi+ 1 достаточно велико), то переходим на Шаг 1 и продолжаем итерации. Иначе (точность e достигнута), принимаем: yi+ 1 = y ( i+ 1) р , fi+ 1 = f ( i+ 1) р и переходим к решению уравнения на следующем частичном отрезке.
Изложенный метод является одношаговым, для него не требуется предварительный расчет начальных точек. В данном методе путем объединения шагов 2 и 3 расчетную схему можно представить в виде схемы простой итерации:
y (i+ 1) р = yi + (fi + f (хi+ 1, y (i+ 1)( р -1)))/2.
Очевидно, при ее практической реализации возникает проблема сходимости. При ее отсутствии можно применять и другие итерационные методы решения нелинейных уравнений.
Аналогично методу Хойна могут быть построены итерационные варианты и для других неявных методов решения ОДУ первого порядка.
Главное преимущество итерационных методов заключается в том, что при наличии сходимости они позволяют получить высокую гарантированную точность решения при простой расчетной схеме метода. При этом необходимо учитывать, что при малых значениях e в суммарной погрешности метода будет возрастать доля погрешности, вносимой округлениями.
Вопросы для проверки знаний.
1. Какую группу численных методов называют методами прогноза и коррекции (предсказывающе-исправляющими или схемами "предиктор-корректор") и какие два основных действия они содержат?
2. В чем заключается наиболее простой способ построения методов прогноза и коррекции?
3. Какие наиболее употребительные методы прогноза и коррекции на основе методов Адамса применяют при решении ОДУ первого порядка?
4. Какой подход построении расчетных схем в методах прогноза и коррекции альтернативным к применению методов Адамса, каковы наиболее употребительные методы прогноза и коррекции данного вида?
5. В чем заключаются достоинства и недостатки методов решения неявных уравнений с однократным уточнением?
6. Каким образом реализуются итерационные варианты методов прогноза и коррекции, в чем заключаются их достоинства и недостатки?
Дата публикования: 2015-01-14; Прочитано: 7916 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!