Методы прогноза и коррекции

Неявные методы Адамса решения ОДУ первого порядка более точны по сравнению с явными схемами. Однако у них на завершающем этапе расчета схемы необходимо решать нелинейное в общем случае уравнение относительно величины y_{i+ 1} искомой функции y (х) в конечной точке х_{i+ 1} текущего шага интегрирования.

Методами прогноза и коррекции (которые также называют предсказывающе-исправляющими методами или схемами " предиктор-корректор ") в вычислительной математике называют группу методов численного решения различных задач, у которых каждый шаг состоит из двух основных действий. Первое (предиктор) заключается в вычислении грубого начального приближения искомой величины, выполняется однократно. Второе действие (корректор) уточняет его. Данное действие может выполняться как однократно, так и итерационно неограниченное число раз - для достижения требуемой точности. В зависимости от сочетания предиктора (способа расчета начального приближения) и корректора (способа его уточнения) могут быть получены различные варианты численных методов решения задач рассматриваемого вида.

При использовании методов прогноза и коррекции в решении ОДУ можно получить высокую точность расчета. Наиболее просто принцип прогноза и коррекции может быть реализован при помощи методов Адамса, в которых для расчета очередных величин y_{i+ 1} и f_{i+ 1}.применяются только ранее найденные узловые значения производной f_j и последнее значение искомой функции y_i. В этом случае явный метод Адамса (Адамса-Башфорта) используется в качестве предиктора, а неявный (Адамса-Мултона) - в качестве корректора. Рассмотрим примеры построения таких методов.

1. Рассмотренный ранее метод (схема) Хойна (12.12), в котором предиктором является метод Эйлера (12.8) - простейший одношаговый (k= 1) вариант явного метода Адамса, сводящийся к интегрированию f (x, y) на частных отрезках по формуле левого прямоугольника. В качестве корректора используется простейший двухшаговый (k= 2) неявный метод Адамса (12.15), в котором интегрирование f (x, y) выполняется по методу трапеций. Получаемая точность метода O (h ²).

2. Также часто используется сочетание 4-х шаговых методов Адамса: предиктор — явная 4-х шаговая формула Адамса, корректор — неявная 4-х шаговая формула Адамса. Точность метода O (h ⁴).

Альтернативным подходом к применению методов Адамса при построении расчетных схем в методах прогноза и коррекции является применение как в предикторах, так и в корректорах не полиномов, зависящих от узловых значений производной f_j и последнего значения искомой функции y_i (как в методах Адамса), а более сложных выражений, предусматривающих наряду с искомыми y_{i+ 1} и f_{i+ 1} расчет и последующее использование в формулах вспомогательных величин. За счет этого удается повысить точность методов.

Наиболее употребительными методами прогноза и коррекции данного типа при решении ОДУ первого порядка являются следующие.

1. Метод Милна. Метод четырехшаговый, причем в узле х_{i- 3} используется не производная f_{i- 3}, а значение функции y_{i- 3}. Выполняются следующие действия:

а) вычисляют начальное "грубое" значение y_{i+ 1} искомой функции y (х)в узле i+ 1:

y_{i+ 1}* = y_{i- 3} + (4 h /3) × (2 f_i - f_{i- 1} +2 f_{i- 2});

б) рассчитывают производную y (х)в узле i+ 1 при грубом значении y_{i+ 1}*:

f_{i+ 1}* = f (x_{i+ 1} ,y_{i+ 1}*);

в) по f_{i+ 1}* определяют итоговое уточненное значение y_{i+ 1} функции y (х)в узле i+ 1, а также соответствующее значение производной f_{i+ 1}:

y_{i+ 1} = y_{i- 1} + (1/3) × h× (f_{i- 1} + 4 f_i + f_{i+ 1}*),

f_{i+ 1} = f (x_{i+ 1} ,y_{i+ 1}). (12.21)

Точность метода O (h ⁵).

2. Метод (формулы) Хемминга, в которых сначала вычисляется "прогноз" y_{i+ 1}*, затем - "поправка" Dy_{i+ 1}, затем "коррекция" y_{i+ 1}**, и только потом - итоговое приближенное решение y_{i+ 1}. Метод четырехшаговый. При вычислении прогнозных значений и их коррекции используются не только узловые значения производной f (x,y (x)), но значения в узлах искомой функции y (х) и вспомогательных величин.

y_{i+ 1}* = (2 y_{i- 1} + y_{i- 2})/3 + h× (191 f_i - 107 f_{i- 1} +109 f_{i- 2} - 25 f_{i- 3})/72;

Dy_{i+ 1} = y_{i+ 1}* - (707/750) × (y_i *- y_i **);

y_{i+ 1}** = (2 y_{i- 1} + y_{i- 2})/3 + h× (25 f (x_{i+ 1} ,Dy_{i+ 1}) + 91 f_i + 43 f_{i- 1} +9 f_{i- 2})/72;

y_{i+ 1} = y_{i+ 1}** +(43/750)(y_{i+ 1}* - y_{i+ 1}**). (12.22)

Точность метода O (h ⁶)._,

В двух последних методах прогноза и коррекции за счет отказа от использования интерполяционных полиномов и перехода к более общим формулам удалось повысить порядок метода при том же самом числе шагов, что и в 4-х шаговом методе Адамса.

12.5.1. Итерационная реализация методов прогноза и коррекции

Априорные оценки теоретически позволяют рассчитать предельные значения абсолютных погрешностей для получаемых численных решений дифференциальных уравнений. Поскольку такие оценки выражаются через производные интегрируемых функций, то, фактически, их основное назначение - задавать степень точности метода по шагу интегрирования h, т.е. определять пропорциональность изменения точности некоторой степени от h.

Например, если явный метод Эйлера имеет первый порядок точности О (h ¹), то с уменьшением h в 10 раз точность результата повышается тоже в 10 = 10¹ раз. Метод Рунге-Кутты обладает 4 порядком точности О (h ⁴), при уменьшении шага в 10 раз, результат улучшается в 10 000 = 10⁴ раз. Поскольку этот метод по сравнению с методом Эйлера использует всего в 4 раза больше вычислений, то использование его более выгодно. С повышением порядка точности метода возрастает сложность его алгоритма.

Назовем для краткости рассмотренные методы решения неявных уравнений методами с однократным уточнением, поскольку в них коррекция производится путем разового расчета по заданным формулам. Положительным свойством данных неявных методов интегрирования ОДУ первого порядка является то, что объем вычислений в их алгоритмах заранее известен за счет того, что при заданной постоянной длине шага h интегрирования на каждом из частных отрезков [ x_i, x_{i+ 1}] они однократно выполняют заданный набор операций для численного определения решения - значения y _{( i+ 1)} искомой функции y (х) в конечной точке отрезка x_{i+ 1} и ее производной f_{i+ 1}. Это позволяет по известной производительности вычислительного устройства заранее оценивать время счета алгоритма, что существенно для систем, работающих в реальном времени.

Однако в тех случаях, когда необходимо гарантированно достичь заранее заданной точности интегрирования e на каждом шаге решения (а не той, которая гарантируется априорной оценкой) при отсутствии ограничения на полное время решения задачи Коши, можно использовать итерационные варианты методов прогноза и коррекции. В них однократное начальное предсказание y _{( i+ 1)0} значения искомой функции y (х) в конечной точке x_{i+ 1} текущего отрезка [ x_i, x_{i+ 1}] производится по тому же предиктору, что и в обычном методе. Затем полученное приближение уточняется не один раз, а многократно итерационным способом с получением последовательности приближенных решений { y _{( i+ 1) р} , р =1,...} для y _{( i+ 1)}. Расчет производится до тех пор, пока изменение вычисляемых значений функции y _{( i+ 1) р} не станет меньше, чем заранее заданная предельная величина e: ï y _{( i+ 1) р} - y _{( i+ 1)(р- 1)}ï< e.

Рассмотрим применение итерационного метода прогноза и коррекции на основе простейшего метода Хойна решения неявного уравнения метода Эйлера (12.9). Как и ранее, ищется решение задачи Коши на отрезке [ а, b ] (12.2): у ' = f (x, y), y (а) = y ₀. Допустим, после i шагов найдены значения искомой функции { у ₁, у ₂,... у_i } в узловых точках { х ₁, х ₂,... х_i } и требуется найти очередное значение искомой функции у_{i+ 1}в узле х_{i+ 1}.

Алгоритм решения ОДУ первого порядка на частичном отрезке по итерационному варианту метода Хойна.

I. р = 0. Предсказание (прогноз) значения функции f (x, y) на правом конце шагав узле х_{i+ 1} выполняется по методу левых прямоугольников: y _{( i+ 1)0} = y_i + f_i · h.

II. Итерационное уточнение начального значения.

1. р: = р +1.

2. Расчет производной в узле х_{i+ 1} подстановкой y _{( i+ 1)(р -1)} в исходное уравнение:

f _{( i+ 1) р} = f (х_{i+ 1}, y _{( i+ 1)(р -1)}).

3. Уточняющий расчет очередного значения y _{( i+ 1) р} для искомой функции по методу трапеций:

y _{(i+ 1) р} = y_i + (f_i + f _{(i+ 1) р})/2.

4. Проверка точности полученного приближения:

| y _{( i+ 1) р} – y _{( i+ 1)(р -1)}| = | f _{( i+ 1) р} – f _{( i+ 1)(р -1)}| > e.

Если условие выполнено (приращение значения y_{i+ 1} достаточно велико), то переходим на Шаг 1 и продолжаем итерации. Иначе (точность e достигнута), принимаем: y_{i+ 1} = y _{( i+ 1) р} , f_{i+ 1} = f _{( i+ 1) р} и переходим к решению уравнения на следующем частичном отрезке.

Изложенный метод является одношаговым, для него не требуется предварительный расчет начальных точек. В данном методе путем объединения шагов 2 и 3 расчетную схему можно представить в виде схемы простой итерации:

y _{(i+ 1) р} = y_i + (f_i + f (х_{i+ 1}, y _{(i+ 1)( р -1)}))/2.

Очевидно, при ее практической реализации возникает проблема сходимости. При ее отсутствии можно применять и другие итерационные методы решения нелинейных уравнений.

Аналогично методу Хойна могут быть построены итерационные варианты и для других неявных методов решения ОДУ первого порядка.

Главное преимущество итерационных методов заключается в том, что при наличии сходимости они позволяют получить высокую гарантированную точность решения при простой расчетной схеме метода. При этом необходимо учитывать, что при малых значениях e в суммарной погрешности метода будет возрастать доля погрешности, вносимой округлениями.

Вопросы для проверки знаний.

1. Какую группу численных методов называют методами прогноза и коррекции (предсказывающе-исправляющими или схемами "предиктор-корректор") и какие два основных действия они содержат?

2. В чем заключается наиболее простой способ построения методов прогноза и коррекции?

3. Какие наиболее употребительные методы прогноза и коррекции на основе методов Адамса применяют при решении ОДУ первого порядка?

4. Какой подход построении расчетных схем в методах прогноза и коррекции альтернативным к применению методов Адамса, каковы наиболее употребительные методы прогноза и коррекции данного вида?

5. В чем заключаются достоинства и недостатки методов решения неявных уравнений с однократным уточнением?

6. Каким образом реализуются итерационные варианты методов прогноза и коррекции, в чем заключаются их достоинства и недостатки?