Численные методы решения систем ОДУ первого порядка

Методы решения одиночных дифференциальных уравнений первого порядка могут быть также использованы для решения систем данных уравнений. В процессе решения системы в отличие от одиночного, необходимо пересчитывать значения не одной, а нескольких функций.

Представим систему двух уравнений первого порядка в следующем виде:

dу (x)/ dx = j(x, у, z),

dz (x)/ dx = y (x, у, z),

у (x ₀) = у ₀, z (x ₀) = z ₀. (12.23)

Неизвестными в задаче (12.23) являются две функции у (x) и z (x), зависящие от одного общего независимого параметра х. Поскольку в общем случае производные dу (x)/ dx и dz (x)/ dx зависят от обеих неизвестных функций у (x) и z (x), то систему нельзя решить отдельно относительно у (x) и отдельно относительно z (x). Решение должно определяться в результате совместного интегрирования обеих неизвестных функций. При этом обычные методы решения принимают следующий вид.

1. Явный метод Эйлера:

(12.24)

2. Метод Хойна (модифицированный метод Эйлера):

(12.25)

3. Схема Рунге – Кутта четвертого порядка точности:

(12.26)

Вопросы для проверки знаний.

1. Какой вид имеет система ОДУ первого порядка, зависящих от одного независимой переменной?

2. Почему нельзя в общем случае раздельно решить систему двух уравнений первого порядка относительно у (x) и отдельно относительно z (x)?

3. Как строятся методы решения данных систем ОДУ?