Пример 5.6

%--------Начало программы Pr_5_06--------

%Определение параметров дискретной модели

%ЧАСТЬ 1

a=[0,1;0,-1];b=[0;1]; %Исходные данные: матрица коэффициентов,

c=[1,0];d=0; %матрица управления, матрица выхода.

h=ss(a,b,c,d); %Формирование модели в форме SS/

syms s t %Ввод символьных переменных.

i=[s,0;0,s]; %Формирование диагональной матрицы.

f=ilaplace(inv(i-a)) %Определение переходной матрицы.

t=0.5; %Ввод численного значения. Интервал дискретности.

subs(f) %Подстановка численных значений в символьные

%выражения.

syms t %Ввод символьных переменных.

f1=int(f,t,0,0.5) %Символьное вычисление определенных интегралов.

s=subs(f1) %Подстановка численных значений в символьные

%выражения.

bd=s*b %Определение матрицы управления в дискретной

%модели.

%ЧАСТЬ 2

%Определение дискретной модели по матрице коэффициентов,

%матрице управления, интервалу дискретности одной командой MATLAB

[aa,bb]=c2d(a,b,0.5)

Рис.5.8. Переходные процессы в системах регулирования (1,2 – непрерывное время; 3,4 – дискретное время)

Первая программа пошагово отражает процедуры получения матриц и дискретных систем методом согласования базисов во временной области. Вторая – использует одну команду, которая, по заданным параметрам непрерывной системы и интервалу дискретности, определяет значения и .

Применение метода согласования базисов во временной области встречают затруднения связанные с тем, что:

- он требует от инженера знание элементов матричной алгебры и основных положений современной теории управления;

- значительного объема вычислений, если приходится определять влияние изменения какого-либо параметра.

Действительно, при изменении численного значения одного элемента в матрице коэффициентов непрерывной системы приходится повторять все вычисления

В значительной степени эти недостатки устранены в методе, назовем его методом согласования базисов в частотной области. При его применении предварительно составляется детализированная структурная схема (ДСС) непрерывной системы [24]. Под ДСС понимаем структуру, состоящую из усилительных и интегрирующих звеньев. При создании дискретной модели оператор непрерывного интегрирования заменяется Z-оператором (цифровым интегратором). Существуют несколько методов численного интегрирования [11]. Для метода прямоугольников по прямому методу Эйлера переход к цифровому интегрированию осуществляется заменой

а для обратного метода Эйлера переход к дискретной модели имеет вид

.

Существуют и более сложные методы численного интегрирования, из которых целесообразно выделить трапецеидальную аппроксимацию

.

Последняя формула незначительно усложняет формулы Эйлера, но имеет идеальную фазовую характеристику и вводит ослабление на высоких частотах, уменьшая влияние внешних возмущений.

Для каждого из цифровых интеграторов на рис.5.9 представлены схемы моделирования с использованием которых создание дискретной модели методом согласования базисов в частотной области предельно упрощается [23]:

- создается ДСС непрерывной системы;

- оператор непрерывного интегрирования заменяется цифровым интегратором в зависимости от принятого метода аппроксимации.

Рис.5.9. Схема моделирования цифровых интеграторов (А-аналоговое интегрирование, Б – прямой метод Эйлера, В – обратный метод Эйлера, Г – трапецеидальная аппроксимация)

На рис.5.10 представлены схемы моделирования непрерывной и дискретной систем регулирования, а на рис 5.11 - результаты моделирования.

Рис.5.10. Схема моделирования (А – непрерывная система; В, С – дискретная система, использующая прямой метод Эйлера и трапецеидальную аппроксимацию)

Из рис.5.10 следует, что для получения дискретной модели необходимо непрерывный интегратор заменить цифровым при неизменных значениях коэффициентов обратных связей интеграторов аналоговой системы.

Из кривых рис.5.11 следует, что фазовые координаты непрерывной системы в дискретные моменты времени совпадают с соответствующими координатами дискретной системы. Причем, по координате X2(t) отличие наблюдается только в начале процесса. Кривые рис.5.11 показывают характер приближения дискретного процесса к непрерывному процессу в зависимости от метода численного интегрирования. При трапецеидальной аппроксимации различие между кривыми 1 и 3 будет минимизировать среднеквадратичную ошибку, что дает лучшее приближение не только с методами Эйлера, но и с кривыми, полученными методом согласования базисов во временной области.

Рис.5.11. Переходные процессы в исследуемых системах (1 – непрерывная система, 2,3 – дискретная система при прямом методе Эйлера и трапецеидальной аппроксимацией)

Сравним две методики построения дискретных моделей. Изменение постоянной времени какого-либо звена приводит к изменению коэффициента усиления усилителя, стоящего в обратной связи интегратора. При согласовании базисов во временной области это приводит к повторному расчету всей системы, что вызовет изменение нескольких параметров структурной схемы. Изменение постоянной времени в методе, используемом ДСС, приводит к изменению только одного коэффициента, что не требует повторных расчетов, а структура модели остается неизменной.

Таким образом, сравнение методик определения структурных схем дискретных систем позволяет сделать следующие выводы:

- метод согласования базисов в частотной области проще метода согласования базисов во временной области, так как позволяет решать задачи в рамках классической теории и не требует знаний матричной алгебры;

- метод согласования базисов в частотной области имеет более широкие возможности, так как позволяет применять разные методы аппроксимации и как частный случай метод, используемый при согласовании базисов во временной области;

- в методе согласования базисов в частотной области исключаются расчеты, и он может быть выполнен без применения ЭВМ;

- в методе согласования базисов в частотной области изменение параметра системы приводит к изменению одного коэффициента в цепи обратной связи интегратора и не требует пересчета всех параметров модели.

В этом параграфе рассмотрена три метода определения дискретной модели на основы использования:

- импульсной передаточной функции;

- согласования базисов во временной области;

- согласования базисов в частотной области.

Преимущество двух последних методов в том, что все переменные состояния соответствуют реальным физическим переменным, а так же в том, что эти методы могут быть легко реализованы в виде компьютерных программ, что обусловило их применение во всех практических случаях.

Отметим, что структурные схемы, полученные методами согласования базисов во временной и частотных областях решают одну и ту же задачу, их топология различна. Причем, структурнаы схема дискретной модели, полученная методом согласования базисов во временной области, значительно отличается от структурной схемы модели непрерывной системы. При согласовании базисов в частотной области используется замена непрерывного интегратора дискретным, что приводит к меньшему различию структурных схем непрерывных и дискретных систем и делает применение метода согласования базисов в частотной области более привычным.