Схема моделирования в переменных состояния для дискретных систем

Исследование дискретных систем методами пространства состояния

Приведены схемы моделирования, математический аппарат дискретных и цифровых систем, исследуемых в пространстве состояния. Приведены методики синтеза оптимальных систем, описаны принципы построения современных цифровых систем подчиненного регулирования. Расчеты иллюстрируются программами MatLab из Simulink и Control System Toolbox.

Цель – сформировать навыки расчета дискретных и цифровых систем методом пространства состояния. По заданным требованиям к системе определить параметры оптимального регулятора. Методами моделирования в пакете MatLab оценить правильность выполненных расчетов, а для цифровых систем дополнительно оценить влияния квантования по уровню.

Схема моделирования в переменных состояния для дискретных систем

Основными звеньями, используемыми для моделирования линейных непрерывных систем, являются интеграторы, сумматоры и масштабные блоки. Для моделирования дискретных систем, описываемых линейными разностными уравнениями, основными звеньями являются сумматоры, масштабные блоки и звено задержки (регистр сдвига). Сумматор и масштабные блоки – те же звенья, что и в непрерывных системах; блок задержки (рис.5.1) в некотором смысле аналогичен интегрирующему блоку для моделирования непрерывных уравнений.

Через каждые секунд в блок задержки (регистр сдвига) записывается число и одновременно то число, которое хранилось в регистре, выводится из него.

Рассмотрим разностное уравнение из примера 4.1

. (5-1)

Схема моделирования этого уравнения приведена на рис.5.2

Если в момент времени на вход подать 1, а в моменты подать , то на выходе схемы моделирования появится последовательность и т.д. совпадающая с решением разностного уравнения с использованием рекуррентных соотношений.

Если интегратор, используемый в схемах моделирования непрерывных систем, заменить блоком задержки, то для дискретных систем схемы в переменных состояния имеют почти такой же вид, как и для непрерывных систем. Поэтому схемы моделирования для дискретных систем могут быть получены тремя различными способами:

- прямого программирования;

- параллельного программирования;

- последовательного программирования.

Для иллюстрации различных способов составления схем в переменных состояния рассмотрим дискретную систему, описываемую разностным уравнением второго порядка

,

где - вход системы, а - выход.

Применим к этому уравнению Z-преобразование и получим

. (5-2)

Обозначим через и координаты, которые характеризуют выходы соответствующих блоков задержки. Тогда, используя опыт моделирования непрерывных систем, получим схему моделирования дискретной системы (рис.5.3).

Как было сказано выше, передаточной функции (5-2) можно поставить в соответствие различные схемы моделирования. Для метода параллельного программирования необходимо иметь корни полинома знаменателя. Для метода последовательного программирования необходимо знать корни полинома числителя и знаменателя и сложную передаточную функцию вида (5-2) разбить на блоки, для которых в справочной литературе имеются схемы моделирования.

Следует отметить, что во всех схемах моделирования выходной сигнал является линейной комбинацией переменных состояния и . Причем, ни одна из них не представляет физическую величину, совпадающую с реальными физическими переменными.

В дальнейшем будут показаны методы, позволяющие получить модели в переменных состояния дискретных систем с координатами, совпадающими с физическими переменными исследуемых систем.

На основании схемы моделирования (рис.5.3) можно записать уравнение системы. Как показано на рис.5.3, выходы элементов задержки обозначены через и . Тогда входы этих элементов задержки будут равны и , а уравнения состояния запишутся в виде

Эти уравнения можно представить в векторно-матричной форме

. (5-3)

Используя стандартную запись векторов матриц, выражения (5-3) можно представить в компактной форме

Таким образом, для определения векторно-матричных уравнений дискретных систем необходимо по разностному уравнению или Z-передаточной функции изобразить схему моделирования. Затем выход каждого элемента задержки принять за переменную состояния. И, наконец, составить уравнения для входов каждого элемента задержки в зависимости от выходов каждого элемента задержки и входа системы.