Анализ дискретных систем методом переходных состояний

На интервале дискретности линейная стационарная дискретная система описывается векторным уравнением [25]

, (5-34)

где . Для первого интервала дискретности .

Это уравнение по форме совпадает с уравнением для непрерывных систем , и все его члены имеют тот же физический смысл: - расширенная матрица коэффициентов, - расширенный вектор состояния, а ‑ пределы изменения времени, ограниченные одним интервалом дискретности. Причём, для одного и того же значения времени можно говорить о двух значениях вектора состояния . Вектор определяет координаты вектора состояния в конце интервала дискретности, а вектор в начале следующего интервала. Переход от вектора к вектору для некоторых координат может осуществляться скачком, т.е. некоторые фазовые координаты характеризуются разрывными по производной функциями. Связь вектора и осуществляется матричным уравнениям

, (5-35)

- матрица перехода вектора из одного состояния в другое.

Решение уравнения (5-34) определяет изменение фазовых координат системы на интервале дискретности

. (5-36)

Начальные условия определяются для каждого интервала дискретности векторным уравнением (5-35), которое по фазовым координатам предыдущего интервала дискретности определяет начальные условия для n -го интервала дискретности.

Так как в цифровых системах интервал дискретности достаточно мал, то для расчёта достаточно знать состояние вектора в конце каждого интервала дискретности, т.е. при этих условиях функциональная матрица превращается в числовую матрицу и уравнение (5-36) запишется как

. (5-37)

Это уравнение позволяет определить все фазовые координаты системы по фундаментальной числовой матрице и вектору начальных условий .

Представляя из (5-35) в (5-37), получим

. (5-38)

Придавая в формуле (5-38) последовательные значения n, получим следующую систему уравнений

Приведенным выше соотношениям можно придать компактный вид, если ввести обозначения

. (5-39)

Тогда получаем

. (5-40)

Выражение (5-40) показывает, что вектор в конце n -интервала дискретности определяется матрицей в степени n. Например, в конце третьего интервала дискретности имеем

.

В начале четвертого интервала дискретности выходные координаты системы определяются выражением

.