Методы решения уравнений состояния

Дискретная система с постоянными параметрами описывается уравнениями в переменных состояния

. (5-4)

Для решения этих уравнений, при известных начальных условиях и управляющем сигнале , можно воспользоваться итерационным методом, согласно которому выходной сигнал определяется последовательно для , затем для , затем для и т. д.

Следовательно, решения уравнений (5-4) можно выразить в общем виде

. (5-5)

Общее решение уравнения (5-4) можно получить с использованием Z- преобразования. Для этого представим уравнение (5-4) в развернутом виде

Затем найдем Z-преобразования этих уравнений

Переходя к матричной форме, получим компактную запись приведенной выше системы уравнений

.

Перенося искомые переменные в левую часть, получим

. (5-6)

Решая уравнение (5-6) относительно , имеем

. (5-7)

Применяя к (5-7) обратное Z-преобразование получим тот же результат, что и при решении уравнения (5-4). Поэтому матрица перехода для уравнений состояния дискретных систем имеет вид

,

где - символ обратного дискретного преобразования Лапласа.

Учитывая свойства матрицы перехода можно записать ее значения для любого

.

Имея матрицу перехода, представим решение матричных уравнений во временной области

.

Проиллюстрируем решение дискретных уравнений следующими примерами.