Построения векторно-матричных моделей непрерывных систем в дискретном времени

При исследовании дискретных и цифровых систем часто приходится разрабатывать непрерывные модели в дискретном времени, что связано с заменой непрерывных дифференциальных уравнений

(5-14)

разностными уравнениями

(5-15)

где - матрицы коэффициентов, матрицы управления и матрицы выхода непрерывной и дискретной систем регулирования.

Переход от непрерывного времени к дискретному можно осуществить несколькими путями в зависимости от исходных данных. Если непрерывная модель задана передаточной функцией, то используется метод импульсной переходной функции, основанный на Z-преобразовании непрерывной передаточной функции. При этом задается интервал дискретности и принимается метод аппроксимации. В большинстве случаев в микропроцессорных системах АЦП сохраняет уровень аналогового сигнала постоянным на интервале дискретности, что вносит в аналоговую часть системы запоминающий элемент (экстраполятор) нулевого порядка

,

где - передаточные функции экстраполятора и непрерывной части системы, соответственно; - символ прямого преобразования Лапласа.

Однако дискретную модель, полученную этим методом, затруднительно анализировать и использовать в тех случаях, когда необходимо сравниавать фазовые координаты непрерывной части системы и ее дискретной модели, так как переходные характеристики дискретной модели не совпадают с соответствующими фазовыми координатами физической модели. Это объясняется различными базисами, в которых построены модели.

Предложим, что объект характеризуется непрерывной передаточной функцией

(5-16)

с интервалом дискретности

Используя таблицы Z-преобразования или соответствующие команды MatLab, определяем дискретную передаточную функцию

.

Из таблицы Z–преобразований получаем:

.

Результаты расчета представлены выражением (5-17)

. (5-17)

Используя пакет MatLab можно так же получить передаточную функцию .