Пример 5.5

%--------Начало программы Pr_5_05--------

%Определение параметров дискретной модели в пакете MatLab

a=[0,1;0,-1];b=[0;1]; %Исходные данные: матрица коэффициентов,

c=[1,0];d=0; %матрица управления, матрица выхода.

h=ss(a,b,c,d); %Формирование модели в форме SS.

h1=tf(h) %Формирование модели в форме TF.

T=0.5 %Ввод исходных данных.

h2=c2d(h1,T) %Определение дискретной модели, соответствующей

%непрерывной модели h1 с интервалом дискретности T.

По передаточным функциям (5-16) и (5-17) в Simulink созданы модели (рис.5.5) с непрерывным и дискретным временем и проведено их моделирование

Рис.5.5. Схема моделирования систем регулирования (А – непрерывная модель, В – дискретная модель, полученная методом импульсной переходной функции)

Результаты моделирования (рис.5.6) показывают совпадение в дискретные моменты времени выходных координат (кривые 2 и 3) и резкое отличие (кривые 1 и 4) промежуточных координат. Этот существенный недостаток не позволяет использовать предложенную модель дискретного времени в цифровых системах, например при синтезе наблюдателей, так как промежуточные фазовые характеристики реальных физических систем не совпадают с соответствующими характеристиками моделей дискретного времени.

Предположим, что передаточная функция (5-17) соответствует двигателю постоянного тока. Тогда выходом объекта является угловое положение вала двигателя. В дискретной модели (рис.5.5,В) выходом является линейная комбинация двух переменных состояния и , причем ни одна из них не представляет координату физического объекта. При проектировании систем регулирования желательно, чтобы переменные состояния всех координат совпадали с реальными физическими переменными. Это не достигается в структурной схеме, представленной на рис.5.6,В.

Рассмотрим методы построения моделей с дискретным временем в одинаковых базисах, используя уравнение пространства состояния непрерывных (5-14) и дискретных (5-15) систем. В основу создания дискретных моделей по этому методу, назовем его метод согласования базисов во временной области, положено условие, что решение аналогового уравнения (5-14)

, (5-18)

где - переходная матрица состояния, будет совпадать при с решением дискретного уравнения (5-15), которое для принимает вид

(5-19)

Рис.5.6. Переходные процессы в системах регулирования с непрерывным (кривые 1,2) и дискретным (кривые 3,4) временем

Так как является выходом экстраполятора нулевого порядка, то на интервал дискретности сохраняет постоянное значение . Это дает возможность записать условия, при котором фазовые координаты непрерывной и дискретной моделей при будут совпадать [7,23]

, (5-20)

, (5-21)

, (5-22)

. (5-23)

Из вышеприведенных выражений следует, что фазовые координаты дискретной модели при будут совпадать с соответствующими координатами непрерывной модели (5-20), если матрицы дискретной системы , и будут определены через переходную матрицу и матрицы непрерывной системы и в соответствии с выражениями (5-21), (5-22) и (5-23).

Известно несколько способов определения переходной матрицы [25]:

- разложение матричной экспоненты в ряд;

- использование теоремы Гамильтона-Кэли;

- применения преобразования Лапласа.

Однако применение этих способов, особенно для сложных систем при неизвестном периоде квантования , сопряжено со значительными временными затратами и определенными математическими трудностями. Поэтому остановимся на последнем способе, который, во-первых, получил широкое применение в теории автоматического управления, а, во-вторых, относительно просто программируется в пакете MatLab.

Используя аналоговую модель непрерывной системы (рис.5.5,А), запишем её уравнения в пространстве состояния

Тогда

Для дискретной модели матрица при принимает значения

.

Далее определяем матрицу управления

.

Используя матрицу коэффициентов и матрицу управления ,определяем дискретную модель системы

. (5-24)

В соответствии с уравнениями (5-24) на рис.5.7 представлены схемы моделирования дискретной и непрерывной системы регулирования, а на рис.5.8 результаты моделирования.

Рис.5.7. Схемы моделирования системы регулирования (А – непрерывная модель; В – дискретная модель, полученная методом согласования базисов во временной области)

Сравнения переходных характеристик по фазовым координатам X1(t) и X2(t) показывает, что в дискретные моменты времени () они совпадают, хотя структурные схемы (рис.5.7,А и рис.5.7,В) характеризуются значительными отличиями.

Создание дискретных моделей методом согласования базисов по переходным матрицам является высокоформализованным средством описания систем управления, общая структура которых не зависит от сложности объекта, а их анализ и синтез осуществляется единым математическим аппаратом – матричной алгеброй. При этом приходится проделать большой объем формализованных вычислений и поэтому вся процедура расчетов выполняется с применением ЭВМ. Ниже приведены программы в пакете MatLab, иллюстрирующие эти положения.