Описание систем в переменных состояния с использованием вектора фазовых координат увеличенной размерности

Синтез дискретных систем с помощью ЛАЧХ в виду простоты, наглядности и связи методик синтеза дискретных систем с известными методиками синтеза непрерывных систем, получил широкое распространение. Однако он требует определенного навыка работы с графиками и характеризуется невысокой точностью, свойственной графоаналитическим методам.

К более существенным недостаткам метода синтеза по ЛАЧХ следует отнести ограничения, заложенные в постановке задачи: переходной процесс характеризуется длительностью и величиной перерегулирования, которые должны быть не больше заданных значений. В то же время при оптимальном управлении выходная величина должна достичь установившегося значения без перерегулирования за минимальное время. Невозможность достичь оптимального управления при синтезе по ЛАЧХ объясняется просто: синтез по ЛАЧХ распространяется только на линейные системы и только при линейных преобразованиях сигнала ошибки.

В значительной степени эти недостатки устраняются при синтезе цифровых регуляторов методом пространства состояния. Это объясняется тем, что параметры цифрового регулятора зависят не только от сигнала ошибки, что имеет место при синтезе по ЛАЧХ, но и от промежуточных фазовых координат системы. Эта дополнительная информация используется при синтезе регуляторов, изменяя его параметры на разных интервалах дискретности. В пределах одного интервала система линейная, а её нелинейные свойства, позволяющие получить переходной процесс без перерегулирования, проявляются при смене интервалов дискретности.

Как будет показано дальше, сигнал на выходе линейного цифрового регулятора имеет такую же форму, как если бы он синтезировался методами оптимального управления.

Как известно, линейная стационарная система описывается следующими уравнениями:

. (5-25)

Неоднородное матричное уравнение (5-25) можно свести к однородному уравнению, вводя - вектор столбец увеличенной размерности с учетом входных переменных сигнала управления и фазовых координат

.

В этом случае матрицу коэффициентов будем считать матрицей коэффициентов увеличенной размерности и уравнение (5-25) принимает вид

. (5-26)

где - матрица коэффициентов увеличенной размерности; - вектор увеличенной размерности.

В качестве иллюстрации рассмотрим систему второго порядка

. (5-27)

Чтобы записать это уравнение в векторно-матричной форме, положим

Рассмотрим случай, когда и запишем систему уравнений согласно выражению (5-25)

; ; . (5-28)

Матрицы , и вектор фазовых координат позволяют получить векторно-матричное уравнение, соответствующее выражению (5-25).

Представим уравнение (5-27) в соответствии с выражением (5-26). При ступенчатом входном воздействии система уравнений, соответствующая выражению (5-27), принимает вид:

Откуда получаем расширенный вектор состояния и расширенную матрицу коэффициентов

; .

В случае входного воздействия произвольной формы систему увеличенной размерности можно по-прежнему описать уравнениями (5-26), введя в число переменных состояния дополнительные переменные, характеризующие входное воздействие.

Методы решения уравнения (5-26) не отличается от методов решения уравнения (5-25). В основу положено определение фундаментальной матрицы , а далее выходные координаты системы определяются через формулу Коши. Сама фундаментальная матрица определяется через матрицу коэффициентов увеличенной размерности.

По передаточной функции или матрице коэффициентов имеется возможность составить схему моделирования в переменных состояния для непрерывной системы (рис.5.12)

Преобразуем непрерывную систему в дискретную систему, введя в канал ошибки цифровой регулятор. Как известно, согласование непрерывной части системы с дискретной частью осуществляется блоками АЦП и ЦАП. В схеме (рис.5.13) АЦП представлено фиксатором (запоминающим элементом нулевого порядка). Через каждые секунд в фиксатор заносится число и одновременно то число, которое хранилось в фиксаторе – выводится из него. Поэтому момент времени характеризуется двумя состояниями: (до срабатывания импульсного элемента) и (после срабатывания импульсного элемента). При произошло срабатывание импульсного элемента и информация, которая хранится в регистре, выводится из него. Поэтому запись

(5-29)

означает, что сигнал на выходе фиксатора определяется после срабатывание импульсного элемента. Причем сигналы и , фиксируемые в

данный момент, соответствуют сигналам, которые действовали в системе на предыдущем интервале дискретности, т.е. преобразования (5-29) выполняются блоком задержки. Вводя цифровой регулятор и замыкая систему отрицательной обратной связью, получим схему в переменных состояния цифровой системы (рис.5.13).

В цифровой системе, по сравнению с непрерывной системой, размерность вектора фазовых координат увеличилась: координата характеризует вход цифрового регулятора, а координата - выход цифрового регулятора. Так как цифровой регулятор в разрабатываемой методике синтеза рассматривается как усилитель с переменным коэффициентом усиления , принимающим различные значения на различных интервалах дискретности, то координата связана с координатой коэффициентом пропорциональности

. (5-30)

С учетом этих значений расширенный вектор , характеризующий цифровую систему рис.5.13 имеет вид

.

Уравнения фазовых координат, соответствующие схеме рис.5.13, представлены следующей системой уравнений

(5-31)

Первое уравнение (5-31) характеризует производную от входного воздействия и для постоянной величины (ступенчатое воздействие) производная равна нулю. Для более сложных сигналов размерность вектора увеличивается. Четвертое уравнение характеризует выход фиксатора – постоянная величина и по этому производная от постоянной величины так же равна нулю.

Система уравнений (5-31) достаточна для расчета непрерывных систем. Для дискретных систем этой информации недостаточно, так как при срабатывании импульсного элемента некоторые фазовые координаты системы скачком меняют свое значение.

Действительно, на интервале дискретности фазовая координата системы изменяется, а выход фиксатора остается неизменным. При информация из фиксатора подается на вход цифрового регулятора, а фиксатор будет хранить предыдущие значения входного сигнала при . Изменение фазовых координат системы должно найти отражение и в её математической модели, что достигается введением матрицы ( - матрица перехода), которая связывает фазовые координаты до момента срабатывания импульсного элемента и после его срабатывания. Матрица , как и матрица , может быть определена из схемы моделирования (рис.5.13)

(5-32)

Откуда получим

. (5-33)