Решение тригонометрических уравнений

** ОБРАТНАЯ ФУНКЦИЯ

Рассмотрим две функции y = f(x) и y = g(x) графики которых изображены на рисунке 1.

у у

y = f(x) y = g(x)

х х₁ х₂ х

Рис. 1

Функция y = f(x) каждое своё значение принимает один единственный раз т.е для любых двух значений аргумента х₁ и х₂ f(x₁) f(x₂). Геометрически это означает: любая горизонтальная прямая, которая пересекает график функции пересекает его только в одной точке.

Функция y = f(x) называется обратимой, если каждое своё значение она принимает один единственный раз.

Функция y = g(x) является необратимой. Например х₁ х_2, но g(x₁) = g(x₂). Геометрически это означает: горизонтальная прямая, которая пересекает график функции пересекает его более чем в одной точке (на рисунке таких точек пересечения три).

Если функция у = f(x) обратима, то выразив х из формулы у = f(x) и поменяв затем х и у местами получим обратную функцию.

Пример.

Функция обратима. D(y) = [0; +∞),

y y = x2   x       Рис. 2

E(y) = (- ∞;0]. Задав любое у из промежутка [0; +∞) можно найти соответствующее х по формуле х = у2. Функция х = у2 при у 0 есть функция, обратная к функции Так как выбор букв для обозначения независимого и зависимого переменного несущественен поменяв местами х и у получим функцию у = х2 при х 0, которая является обратной функции . На рисунке 2 изображены графики взаимно обратных функций и у = х2.

ПОМНИ. Если функция является обратной функции , то:

1. Областью определения обратной функции является множество значений функции , а множество значений есть область определения функции ;

2. Графики и симметричны относительно прямой у = х.

3. Функцией, обратной к обратной функции , является исходная функция. Таким образом, функции и всегда взаимно обратны.

Теорема (об обратной функции). Если функция у = f(х) определена и возрастает (или убывает) на промежутке X и областью её значений является промежуток Y, то у неё существует обратная функция, причём обратная функция определена и возрастает (или убывает) на Y.

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

Арксинус.

у

х

- 1 у = sin x

На отрезке функция у =sin x возрастает и областью её значений является отрезок [-1;1].Значит, для функции у =sin x, рассматриваемой на отрезке существует обратная функция. Эту функцию обозначают у = arcsin x (читается «арксинус х»).

Свойства функции у = arcsin x

1. Область определения – отрезок [- 1;1];

2. Область значений – отрезок ;

3. Функция нечётная: arcsin (- x) = - arcsin x;

4. Функция возрастающая.

Так как записи у = arcsin x и x = sin y эквивалентны, то