Решение простейших тригонометрических уравнений

Простейшими тригонометрическими уравнениями называются уравнения вида sin x = a

cos x = a

tg x = a

ctg x = a

I. Уравнение sin x = a

1 Если , то уравнение решений не имеет.

а [-1;1]

Например: а) sin x = 1,1;

б) sin x = - 100; решений нет

в) sin x = .

2 При имеет место формула .

а [-1;1]

3 Частные случаи а = 0; 1.

Пример. Решите уравнение

а) Решение:

б) Решение:

в) sin x = 0,9

Решение::

I. Уравнение cos x = a

1 Если , то уравнение решений не имеет.

а [-1;1]

Например: а) cos x = 5,3;

б) cos x = ; решений нет

в) cos x = .

2 При имеет место формула .

а [-1;1]

3 Частные случаи а = 0; 1.

Пример. Решите уравнение

а) Решение:   в) cos x =

б) Решение:

Решение:

III. Уравнение tg x = a

Уравнение tg x = a имеет решение при любом значении а, так как областью значения функции tg x являются все числа.

Для любого а имеет место формула

Пример. Решите уравнение

а) tg x = 1 б) tg x = 100 г) tg x = - 3,4

Решение: Решение: Решение:

IV. Уравнение ctg x = a

Уравнение ctg x = a имеет решение при любом значении а, так как областью значения функции ctg x являются все числа.

Для любого а имеет место формула

Пример. Решите уравнение

а) ctg x = -1 б) tg x = 5,7 г) сtg x = 0

Решение: Решение: Решение:

К простейшим уравнениям так же относятся уравнения вида

Их следует решать по тем же формулам, что и уравнения

sin x = a, tg x = a,

cos x = a, ctg x = a,

заменив х на ωх + φ.

Пример 1. Пример 2.

Решите уравнение Решите уравнение

Решение:

Решение: