Формулы двойного угла

sin 2x = 2sin x cos x

cos 2x = cos²x – sin²x = 2cos²x – 1= 1 – 2sin²x

Эти формулы позволяют выразить тригонометрические функции синуса и косинуса какого нибудь угла, углом в два раза меньше. Например, с помощью этих формул можно от угла перейти к углу , от угла 4х перейти к углу 2х и так далее.

Примеры применения формул двойного угла

1. Упрощение выражений.

Пример. Упростите выражение .

Решение:

2. Вычисление значений тригонометрических выражений.

Пример 1. Вычислите .

Решение: Упростим дробь. Для этого в числители дроби применим формулу синуса двойного угла, а в знаменатели формулу косинуса двойного угла.

= = = .

Если в знаменатели мы не увидели косинус двойного угла, то вычисления можно было произвести иначе.

1 = sin²15⁰ + cos²15^0. Имеем, = =

= .

Пример 2. Найдите значение выражения , если .

Решение: Применим формулу двойного угла. Имеем, . , найдём cos x. x – угол IV четверти, поэтому cos s > 0. Имеем, Тогда Ответ: - 8.

Пояснение , поэтому х является углом либо I четверти, либо углом IV четверти. Так как , то х – угол IV четверти (в I четверти sinx > 0)

Пример 3.Найдите значение функции в точке .

Решение: Не забыли совет: если угол выражен в радианах и не является табличным углом, то лучше перевести радианы в градусы.

Тогда = - 1,5 – 0,5 = - 2.

Ответ: - 2.

Замечания:

1) При нахождении значения функции мы радианы перевели в градусы, но если:

а) вы хорошо считаете устно;

б) умеете свободно владеть формулами приведения, в которых углы записаны в радианах,

то радианы в градусы можно было не переводить.

2) При нахождении значения выражения можно было применить формулу синуса двойного угла.

и т.д.