Приклад 2. Визначення швидкостей точок кривошипно-шатунного механізму

Розглянемо механізм, який складається з кривошипа , що обертається навколо осі , шатуна та поршня , який рухається в циліндрі (рис. 3.8). Знайти швидкості точок , і , а також кутову швидкість шатуна для заданого положення механізму, якщо: = 30 см, = 75 см, = 45 см, = 4 рад/с.

Розв’язання. Згідно з умовою задачі всі ланки механізмурухаються в незмінних площинах. При цьому кривошип здійснює обертальний рух навколо точки , поршень – поступальний рух вздовж напрямних (стінок циліндра), а шатун – плоский рух.

Оскільки нас цікавлять кінематичні характеристики точок, які знаходяться на шатуні , визначимо модуль та напрям лінійної швидкості точки . Ця точка одночасно належить до кривошипа , що обертається навколо нерухомої осі , з відомою кутовою швидкістю , тому лінійну швидкість точки знаходимо за законом обертального руху

.

Її модуль = 4·0,3 = 1,2 (м/с), а вектор швидкості спрямований в бік обертання ланки (проти руху стрілки годинника) перпендикулярно до (рис. 3.9).

Напрям руху точки визначають направляючі поршня (циліндр). Таким чином, швидкість точки спрямована під кутом 45° до горизонту. Щоб знайти модуль швидкості точки можна скористатися теоремою про проекції, оскільки точки і належать до одного твердого тіла (шатуна ). який здійснює плоский рух

,

звідки знаходимо

,

тобто

= 1,2 (м/с).

Для визначення швидкості довільної точки ланки потрібно знайти МЦШ ланки та її кутову швидкість. Для визначення МЦШ встановимо перпендикуляри до швидкостей та в точках і (лінії та ). Точка перетину цих ліній () є МЦШ ланки на даний момент часу.

Отже, шатун в даний момент часу здійснює обертальний рух навколо МЦШ (точки ) з кутовою швидкістю , яку будемо шукати з рівняння

,

в якому нам відома лінійна швидкість точки .

Для цього визначимо із трикутника (дивись рис. 3.9). Оскільки = = 45°, а = 90°, то =
= 0,75·0,707 = 0,53 (м). Отже, підставляючи лінійну швидкість точки та відстань від неї до МЦШ в попередню формулу, отримуємо кутову швидкість шатуна

= = 1,2/0,53 = 2,3 рад/с.

Знаючи миттєве значення кутової швидкості ланки і положення МЦШ, можемо знайти швидкість довільної точки цієї ланки в даний момент часу (для даного положення механізму). Так, для швидкості точки маємо

= 1,2 м/с.

Звернемо увагу на те, що різні способи знаходження швидкості точки – теорема про проекції та метод МЦШ – дають однакові результати.

Швидкість точки можна знайти за формулою

.

Відстань між точкою і МЦШ знайдемо з трикутника (дивись рис. 3.9), скориставшись теоремою косинусів

=

= = 0,38 м.

Тоді швидкість точки обчислюємо як

=2,3·0,38 = 0,86 м/с.

Вектори лінійних швидкостей завжди перпендикулярні до прямої, яка проведена з МЦШ (точки ) до даної точки, отже лінійна швидкість точки С напрямлена по перпендикуляру до в сторону миттєвого обертання ланки (рис. 3.9), на що вказує кутова швидкість .

Відповідь: = 1,2 м/с, = 1,2 м/с, = 0,86 м/с, = 2,3 рад/с.\

Приклад 3. В изначення швидкостей точок зчеплених дисків, один з яких нерухомий

Розглянемо механізм, який складається з двох дисків, один з яких нерухомий, а другий приводиться в рух обертанням кривошипа , що з’єднує вісі дисків (рис. 3.10). Малий диск котиться по великому без ковзання. Знайдемо лінійні швидкості точок та та кутову швидкість малого диску для наступних умов: = 50 см, = 20 см, = 10 см, = 4 рад/с, = 30º.

Розв’язання. Визначимо характер руху окремих ланок механізму. Так, кривошип здійснює обертальний рух навколо нерухомої осі, яка проходить через точку , з кутовою швидкістю . Відповідно, вісь малого диску теж здійснює обертальний рух навколо точки . Інші точки малого диска рухаються в незмінній площині, отже малий диск здійснює плоский рух.

Завдяки тому, що точка належить кривошипу, її лінійну швидкість знаходимо з формули

.

Отже, модуль швидкості точки

= 4·0,5 = 2 м/с,

а вектор швидкості спрямований в бік обертання ланки (за рухом стрілки годинника) перпендикулярно до (рис. 3.11).

Визначимо МЦШ малого диску. Оскільки диски не ковзають один відносно одного, а великий диск (1) знаходиться у стані спокою, то точка дотику дисків і є МЦШ. Позначимо цю точку літерою (дивись рис. 3.11), тобто на даний момент часу малий диск (2) здійснює обертальний рух навколо точки .

Виходячи з того, що лінійну швидкість точки ми визначили, а ця точка належить малому диску, запишемо вираз для її лінійної швидкості, користуючись властивостями МЦШ

,

де – кутова швидкість малого диска.

Відстань – не що інше як радіус малого диску, отже його кутову швидкість знайдемо як

= 2/0,2 = 10 рад/с.

Це дозволяє визначити лінійні швидкості точок та з формул:

, (),

, ().

Необхідні для розрахунків відстані та знайдемо з трикутників та (дивись рис. 3.11):

= = 0,2· = 0,346 м,

= = 0,224 м.

Підставляючи ці результати у відповідні рівняння, знаходимо:

= 10 · 0,346 = 3,46 м/с,

= 10 · 0,224 = 2,24 м/с.

Відповідь: = 3,46 м/с, = 2,24 м/с, = 10 рад/с.