Приклад 2. Визначення прискорень точок кривошипно-шатунного механізму

Знайти кутове прискорення ланки та лінійні прискорення точок , для механізму, який зображено на рис. 3.17 за наступних умов: = 30 см, = 75 см, = 45 см, = 4 рад/с, = 6 рад/с².

Розв’язання. На ланці , яка здійснює плоский рух, знаходиться точка , яка здійснює обертальний рух навколо точки . Користуючись тим, що кутова швидкість та кутове прискорення задані, визначимо модулі тангенціального та нормального прискорень точки :

= · = 6·0,3 = 1,8 м/с²,

= · = 16·0,3 = 4,8 м/с²,

та оберемо точку полюсом (рис. 3.18).

Кутову швидкість ланки ми визначили у прикладі 2. Для визначення кутового прискорення ланки знайдемо на ній точку, яка рухається прямолінійно. Такою точкою є точка , яка рухається вздовж стінок циліндра. Введемо декартову систему координат , спрямувавши вісь вздовж направляючих – стінок циліндру - (рис. 3.18). Тоді прискорення точки (векторна сума прискорення точки та тангенціального і нормального прискорень точки внаслідок обертання навколо точки )

,

буде спрямовано вздовж вісі (рис. 3.18).

Нормальне прискорення точки внаслідок обертання навколо точки А спрямоване до точки і його модуль визначимо за формулою

= · = (2,3)²·0,75 = 4 м/с².

Для того, щоб знайти кутове прискорення ланки та прискорення точки будемо вважати, що тангенціальне прискорення точки внаслідок обертання навколо полюсу спрямоване за рухом стрілки годинника (рис. 3.18).

Введемо декартову систему координат , спрямувавши вісь вздовж направляючих – стінок циліндру – (рис. 3.18) та спроектуємо рівняння (1) на ці вісі. Скористуємось тим, що поршень (і точка ) не рухається вздовж осі , тому

= 0,

звідки визначаємо алгебраїчне значення тангенціального прискорення

= = – 1,8/0,707 + 4,0 = 1,5 м/с²,

та кутове прискорення ланки

= = 1,5/0,75 = 2 рад/с².

Ми отримали доданий знак, а це значить, що наше припущення про напрям вірне, отже вектор кутового прискорення ланки спрямований за рисунок (рис. 3.18).

Точка може рухатись тільки вздовж осі , тому повне прискорення точки спрямоване вздовж неї

= = .

Підставляючи в останню формулу отримані результати, знаходимо повне прискорення точки

= 4,8 + 4,0·0,707 + 1,5·0,707 = 8,7 м/с²,

яке спрямовано вздовж осі .

Після того, як ми визначили кутову швидкість та кутове прискорення ланки , ми можемо знайти прискорення будь-якої точки цієї ланки за аналогічною схемою.

Так, для точки (рис. 3.18) маємо формулу

,

в який модулі прискорень обертального руху точки навколо полюса визначимо як:

= = (2,3)²·0,3 = 1,6 м/с²,

= = 2,0·0,3 = 0,6 м/с².

Проектуючи вектори на осі та , визначаємо компоненти прискорення точки :

= = 4,8 + 1,6·0,707 + 0,6·0,707 = 6,3 м/с²,

= = – 1,8 + 1,6·0,707 - 0,6·0,707 = 1,1 м/с².

Модуль прискорення точки визначимо за формулою

= 6,4 м/с².

Відповідь: = 2 рад/с², = 8,7 м/с², = 6,4 м/с².