Приклад 1. Визначення швидкостей точок колеса, яке котиться по нерухомій поверхні

Колесо, яке складається з двох жорстко скріплених циліндрів, що мають спільну вісь, котиться без ковзання малим циліндром по прямій горизонтальній нерухомій рейці (рис. 3.6). Знайти лінійні швидкості точок , , та кутову швидкість колеса, якщо швидкість осі колеса = 1 м/с, зовнішній радіус колеса = 30 см, а внутрішній = 20 см. Які точки колеса мають екстремальні значення швидкості?

Всі вектори вказати на схемі.

Розв’язання. Згідно з умовою задачі всі точки колеса рухаються в незмінних площинах – отже, колесо здійснює плоский рух. Оскільки воно не ковзає відносно нерухомої рейки, то точка дотику колеса до рейки має нульову швидкість і є миттєвим центром швидкості колеса – позначимо цю точку літерою (дивись рис. 3.7).

Для знаходження кутової швидкості колеса розглянемо точку , лінійна швидкість якої відома. Оскільки точка належіть колесу, то

.

Звідси знаходимо кутову швидкість колеса

= 1/0,2 = 5,0 рад/с.

Тоді лінійні швидкості точок , , можна визначити з формул:

, (),

, (),

, ().

Відстані , та знайдемо з геометричних міркувань (дивись рис. 3.7):

= 0,1 0м,

= = 0,36 м,

= = = 0,153 м.

Підставляючи ці результати у відповідні рівняння, знаходимо:

= 5,0 ·0,1 = 0,50 м/с,

= 5,0 0,36 = 1,8 м/с,

= 5,0 ·0,153 = 0,77 м/с.

Звернемо увагу на те, що вектори лінійних швидкостей завжди перпендикулярні до прямої, яка проведена з МЦШ (точки ) до даної точки, а лінійна швидкість точки напрямлена проти швидкості руху центра колеса .

Якщо нас цікавлять точки тіла, величина швидкості яких мають екстремальні значення = 0 та , то це точка , яка має найменшу швидкість, бо = 0, та точка, яка максимально віддалена від МЦШ. В нашому прикладі, така точка розташована симетрично до точки , вектор її швидкості паралельний , а модуль дорівнює

= 2,5 м/с.

Вкажіть цю точку та вектор її швидкості самостійно.

Відповідь: = 1,8 м/с, = 0,5 м/с, = 0,77 м/с, = 5,0 рад/с, = 0, = 2,5 м/с.