Движении. Выражение для относительного ускорения точки можно получить, диффе­ренцируя относительную скорость (2.70)

Выражение для относительного ускорения точки можно получить, диффе­ренцируя относительную скорость (2.70), учи­тывая ее изменение только за счет относительного движения, то есть за счет изменения относительных координат точки , , . Вектора же следует считать постоянными, так как движение не­движной системы координат не учитывается при определении относительной скорости и относительного ускорения точки. Итак, имеем

, (2.74)

Переносное ускорение получим, дифференцируя по време­ни равенство (2.71), считая, что точка покоится по отношению к подвижной системе координат, т. е. что относительные координаты точки , , не зависят от времени.

. (2.75)

Абсолютное ускорение получим, дифференцируя выраже­ние для абсолютной скорости (2.72), учитывая, что с течени­ем времени изменяются как относительные координаты , , точки, так и орты подвижной системы координат

. (2.76)

Видно, что первая скобка в (2.76) есть переносное ускорение, третья - относи­тельное ускорение. Вторая скобка есть до­полнительное или кориолисово ускорение:

. (2.77)

Итак, равенство (2.76) можно записать в виде

. (2.78)

Эта формула и выражает теорему Кориолиса: в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение точки равно векторной сумме

переносного, от­носительного и поворот­ного ускорений.

Преобразуем формулу (2.77) дляускорения Кориолиса.Для производных единичныхвекторов подвижной системыкоординат имеют место следующие формулы Пуассона:

; ; . (2.79)

Здесь - вектор мгновенной угловой скорости подвижной системы коорди­нат. Знаком обозначено векторное произ­ведение векторов.

Подставляя формулы (2.79) в (2.77), получим:

.

Выражение в скобках есть не что иное, как относитель­ная скорость (см. (2.70)). Окончательно получим:

. (2.80)

Итак, ускорение Кориолиса равно удвоенному векторно­му произведению мгновенной угловой скорости подвижной системы координат на вектор отно­сительной скорости.

По общему правилу определения направления, векторного произведения имеем: ускорение Кориолиса направлено пер­пендикулярно плоскости, прохо­дящей через вектора и в ту сторону, откуда поворот вектора к вектору на меньший угол виден против хода часовой стрелки (рис. 2.28).

Из формулы (2.80) вытекает также, что величина ускоре­ния Кориолиса

. (2.81)

Отсюда следует, что ускорение Кориолиса равно нулю в трех случаях:

1) если , т. е. в случае поступательного переносного движения или в моменты обращения в нуль угловой скорости непоступательного перенос­ного движения;

2) если , т.е. в случае относительного покоя точки или в моменты об­раще­ний в нуль относительной скорости точки;

3) если , т. е. в случае, когда вектор относительной скорости то­чки параллелен вектору угловой скорости переносного движения , как, напри­мер, при движении точки вдоль образующей цилиндра, вращающе­гося вокруг своей оси.

Задача 2.10. По железнодорожному п ути, проложенному по параллели северной ши­роты, движется тепловоз со скоростью с запада на восток. Найти корио­лисово ускорение тепловоза.

Решение. Пренебрегая размерами тепло­воза, будем рассматривать его как некоторую точку (точка на рис. 2.29). Точка совершает сложное движение. За переносное движение примем враща­тельное движение точки вместе с Землей, а за относительное движение – движение этой точки по отношению к Земле с постоянной скоростью .

Величина ускоре­ния Кориолиса согласно (2.81) равна

,

где - угловая скорость вращения Земли.

Найдем угловую скорость вращения Земли. За сутки Земля делает один оборот. Угол, соответствующий одному обороту, равен и число секунд в сутках равно , отсюда

.

Положение и направление вектора ускорения Кориолиса определяем по об­щему правилу определения направления векторного произведения. Вектор ускорения Кориолиса находится на прямой , так как он должен быть перпендикулярен векторам и , и направлен в сторону противополож­ную направлению векторов и .

Следовательно,

.

Задача 2.11. Точка движется со скоростью по окружности обода диска диаметра . Диск вращается в про­тивоположном направлении, имея в данный момент угловую скорость и угловое ускорение (рис. 2.30). Определить абсо­лютное ускорение точки.

Решение. Точка совершает сложное движение. За переносное движение примем движение точки вместе с диском, а за относительное движение – движение этой точки по отношению к диску с постоянной скоростью . Абсолютное ускорение точки определяется по формуле (2.78)

.