Движение точки

Сложным движением точки называется такое ее движение, при кото­ром она движется относительно системы отсчета, перемещающейся по отношению к некоторой другой системе отсчета, принятой за непод­вижную. Например, можно считать, что пассажир, идущий по вагону движущегося поезда, со­вершает сложное движение по отношению к полотну дороги, состоящее из движения пассажира по отношению к вагону (подвижная система отсчета) и дви­жения пассажира вместе с вагоном по отношению к полотну дороги (неподвижная система отсчета).

Движение точки по отношению к подвижной системе ко­ординат называется относительным движением точки. Скорость и ускорение этого движения называют относитель­ной скоростью и относительным ускорением и обозначают и .

Движение точки, обусловленное движением подвижной системы координат, называется переносным движением точки.

Переносной скоростью и переносным ускорением точкина­зывают скорость и ускорение той, жестко связанной с под­вижной системой коор­динат точки, с которой совпадает в дан­ный момент времени движущаяся точка, и обозначают и .

Движение точки по отношению к неподвижной системе координат называ­ется абсолютным или сложным. Скорость и ускорение точки в этом движении называют абсолютной скоростью и абсолютным ускорением и обозначают и .

В приведенном выше примере движение пассажира относительно вагона будет относительным, а скорость – относительной скоростью пассажира; движение вагона по отношению к полотну дороги будет для пассажира переносным движением, а скорость вагона, в котором находится пассажир, будет в этот момент его переносной скоростью; наконец, движение пассажира по отношению к полотну будет его абсолютным движением, а скорость – абсолютной скоростью.

§ 21. Определение скорости точки при сложном

движении

Пусть имеется неподвижная система отсчета по отношению к кото­рой движется подвижная система отсчета . Относительно подвижной системы координат движет­ся точка (рис. 2.26). Уравнение движения точки , находящейся в сложном движении, можно задать векторным способом

, (2.67)

где - радиус-вектор точки , определяющий ее положение относительно

не­подвижной системы отсчета ;

- радиус-вектор, определяющий положение начала отсчета подвижной

системы координат ;

- радиус-вектор рассматриваемой точки , определяющий ее

положение относительно подвижной системы координат.

Пусть координаты точки в подвижных осях. Тогда

, (2.68)

где - единичные векторы, направленные вдоль под­вижных осей . Подставляя (2.68) в равенство (2.67), полу­чим:

. (2.69)

При относительном движении координаты изменя­ются с течением времени. Чтобы найти скорость относитель­ного движения, нужно продиффе­ренцировать радиус-вектор по времени, учитывая его изменение только за счет относи­тельного движе­ния, то есть только за счет изменения коор­динат , а подвижную систему координат предполагать при этом неподвижной, то есть вектора считать не зависящими от времени. Дифференцируя равенство (2.68) по времени с учетом сде­ланных оговорок, получим относитель­ную скорость:

, (2.70)

где точки над величинами означают производные от этих ве­личин по времени:

, , .

Если относительного движения нет, то точка будет двигаться вместе с подвижной системой - координат и ско­рость точки будет равна переносной скорости. Таким обра­зом, выражение для переносной скорости можно полу­чить, если продифференцировать по времени радиус-вектор , считая не за­висящими от времени:

. (2.71)

Выражение для абсолютной скорости найдем, дифферен­цируя по времени , учитывая, что от времени зависят относительные координаты и орты подвижной системы координат:

. (2.72)

В соответствии с формулами (2.70), (2.71) первая скобка в (2.72) есть переносная ско­рость точки, а вторая - относитель­ная. Итак,

. (2.73)

Равенство (2.73) выражает теорему о сложении скоростей: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме переносной и относительной скоро­стей.

Задача 2.9. Поезд движется по прямоли нейному горизонтальному пути с постоянной скоростью . Пассажир видит из окна вагона траектории капель дождя наклоненными к вертикали под углом . Определить абсолютную скорость падения дождевых капель отвесно падающего дождя, пренебрегая трением капель о стекло.