Осям траектории

Прове­дем в точке кривой со­прикасающуюся плоскость (рис.2.8), оп­реде­ление которой дано в разделе § 6, и плоскость, перпендикуляр­ную к касатель­ной. Эта плоскость называется нормаль­ной плоскостью. Ли­ния пересечения нормальной и соприкасающейся плоско­стей называется главной нормалью кри­вой. Прямая, пер­пендикулярная к главной нор­мали и каса­тельной, назы­ва­ется бинорма­лью.

Рас­смотрим три взаимно перпенди­куляр­ные оси: касательную, направленную в сторону возрастания дуговой коорди­наты; главную нормаль, направлен­ную в сторону вогну­тости кривой; бинормаль, направлен­ную по отношению к двум другим осям подобно тому, как ось направлена по отношению к осям и . Эти три оси называются естественными осями кривой. Еди­ничные век­торы этих осей принято обозначать соответственно , и .

Из курса высшей математики известно, что угол поворота касательной при переходе точки из одного положения в другое называется углом смежности. Предел отношения угла смежности к приращению дуговой координаты , когда она стремится к нулю, называется кривизной кривой в точке

. (2.16)

Ве­личина , обратная кривизне кривой, называется радиусом кривизны:

. (2.17)

Представим вектор скорости в виде произведения его проекции на

каса­тельную и единичного вектора . Тогда

.

Величина единичного вектора постоянна, направление же его при дви­жении точки вдоль ее траектории меняется. Поэтому вектор нельзя рассматривать как постоянный и его производная по времени не равна нулю. Диф­ферен­цируя последнее выражение как произведение двух функций времени, полу­чим

. (2.18)

Выясним, чему равна производная . Возьмем на кривой (рис. 2.9) два положения движущейся точки и , соответствующие моментам времени и . Орты касательной в этих точках соответственно и . Перенося в точку , определим приращение орта . Как видно из рисунка,

;

.

Следовательно,

.

Из рис. 2.9 видно, что угол, образованный вектором и касательной, . При и поэтому . Это значит, что вектор направлен по нормали к траектории, а так как он лежит в соприкасающейся плоскости, то эта нор­маль является главной нормалью.

Значит,

,

и равенство (2.18) примет вид

. (2.19)

Первое слагаемое суммы (2.19) называется касательным ускорением

точки , второе - нормальным ускорением . Тогда

. (2.20)

Проекции ускорения на касательную и главную нормаль соответственно равны:

; (2.21)

. (2.22)

Проекция ускорения на бинормаль всегда равна нулю.

Модуль полного ускорения точки определяется через ее касательное и

нормальное ускорения

. (2.23)

Задача 2.5. Уравнения движения пальца кривошипа дизеля в период пуска имеют вид:

; ,

где - в , - в . Найти скорость, касательное и нормальное ускорения пальца.

Решение. Находим проекции скорости точки на координатные оси. Так как

;

,

получаем

; .

Определяем модуль вектора скорости

Находим проекции ускорения на координатные оси:

.

Определяем модуль вектора ускорения. Так как

то

.

Определяем модуль касательного ускорения:

,

тогда модуль нормального ускорения: