Понятие скорости точки

Скорость точки является характеристикой быстроты и направления ее движения.

Пусть точка (рис. 2.5, а) движется по криволинейной траектории согласно закону . Положим, что в момент времени точка занимает положение , а в момент времени положение , пройдя за время путь .

Отношение приращения дуговой координаты к промежутку времени , за которое произошло это приращение, называется средней скоростью точки за время

. (2.4)

Очевидно, что, чем меньше промежуток времени , тем ближе значение

подходит к величине действительной скорости точки в момент времени .

Скоростью называется предел при :

;

. (2.5)

Итак, величина скорости точки равна производной от расстояния (дуговой ко­ординаты) по времени. Следовательно, она измеряется в единицах длины, отне­сенных к единице времени (м/с, см/с). Формула (2.5) определяет величину скоро­сти точки.

Чтобы знать не только величину скорости, но и ее направление, введем понятие вектора скорости. Для этого будем определять движение в векторной форме (2.2). В момент времени положение точки (рис. 2.5, б) определяется радиусом-век­тором , а в момент времени , соответствующий положению , - радиу­сом-вектором .

Отношение приращения радиуса-вектора к промежутку времени , в тече­ние которого произошло это приращение, называется вектором средней скоро­сти точки за время , т. е.

. (2.6)

Направление вектора совпадает с направлением вектора . Рассматривая предел отношения (2.6) при приближении к нулю, получим

.

Из равенства (2.7) следует, что вектор всегда направлен по касательной

к тра­ектории в точке .

Итак, вектор скорости точки равен производной от радиуса-вектора по

времени.

Равенство (2.7) можно представить в виде

.

Вектор , направлен по касательной к траектории в сторону возрастания дуговой координаты и равен по модулю единице. Он называется единичным вектором касательной и обозначается . Следовательно, можно записать

.

Отсюда следует, что определенная равенством (2.5) алгебраическая вели­чина представляет собой проекцию вектора скорости на направление единичного вектора касательной.

Задача 2.2. Точка обода маховика в период пуска движется согласно уравнению , где - в , - в . Определить скорость точки, среднюю скорость за и скорость через после начала движения.

Решение. Скорость точки равна первой производной пути по времени

.

Отсюда имеем, что через десять секунд после начала движения, т.е. при

, скорость точки составляет

.

Средняя скорость за некоторый промежуток времени равна отношению перемещения к промежутку времени, за которое это перемещение произошло. В нашем случае, за десять секунд точка прошла расстояние , следова­тельно,

.