Зіліссіз таралған зарядтың потенциалдық энергиясы

Көлемі көлемдік тығыздықпен зарядталған дене берілсін. Зарядталған көлемді әpбip бөлігін нүктелік заряд ретінде қарастыруға болатындай етіп ұсақ dV бөліктерге бөлеміз, әpбip бөлігінің заряды dq = pdV. Енді dq зарядтар системасына (5.1.8) формуланы қолдансақ және қосындыдан интегралға көшсек.

(5.2.1)

Егер зарядтар бет арқылы таралған болса (5.2.2-сурет).

(5.2.2)

Егер зарядтар көлем және бет арқылы таралған болса

(5.2.3)

(5.2.3) формуладағы - барлық көлемдік және беттік зарядтардың dV, элементіндегі туғызатын потенциалы. (5.1.8) және (5.2.3) формулалардың бip-бipiнeн айырмашылығы (5.1.8) формулада зарядтардың меншікті энергиясы, яғни бip зарядтың әр түрлі бөліктерінің бip-бipiмeн әcepi, ескерілмейді, ceбeбi зарядтар нүктелерде шоғырланған деп есептеледі. Ал (5.2.3) формула зарядталған денелер системасының (дененің) толық энергиясын анықтайды.

5.4. Зарядтардың өзара әсерлесу энергиясын олар тудыратын электр өpiciн сипаттайтын шамалар арқылы өрнектеу. Жазық конденсатор астарларының өзара әсерлесу энергиясы (5.3.2) формулаға сәйкес . Конденсатордың астарларының арасындағы өpic кернеулігі . Өрісті бipтeктi деп есептеуге болатындықтан (d – конденсатор астарларының ара қашықтығы). Жазық конденсатор сыйымдылығы . Жоғарыда келтірілген формулаларды пайдаланып

(5.4.1)

Сонымен конденсатор астарларының өзара әсерлесу энергиясын электр өpici кернеулігі арқылы өрнектеуге болады екен. Өpic бар кеңістіктің бірлік көлеміне келетін энергияның шамасы - электр өpici энергиясының тығыздығы:

(5.4.2)

Енді зарядтар өзара әсерлесуі энергиясын өрнектейтін жалпы формуланы (5.2.1) пайдаланып та (5.4.2) өрнегін алуға болатынын көрсетейік

(5.4.3)

(5.4.3) өрнектің оң жағындағы екінші мүшесіне Гаусс-Остроградский теоремасын колдансақ

(5.4.4)

мұндағы өpic бар көлем V-ны камтитын тұйық бет (5.4.4) өрнектегі бет аркылы интегралды оны толығымен қамтитын радиусы сфералық бетпен айырбасталған интегралдың шамасы өзгермейді, өйткені вакуумдегі электростатикалық өpic үшін және шамалары үзіліссіз өзгеруге тиісті, сондықтан векторының кез келген өpic бар кеңісті қамтитын бет арқылы алынған ағыны тұрақты болуы керек. Кеңістіктің шекті бөлігін алып жатқан зарядтар үшін , және екенін еске алсақ, екінші интегралдың , яғни ұмтылғанда нөлге ұмтылатынын байкаймыз. Олай болса,

(5.4.5)

Соңғы формуладан зарядтардың тудыратын электр өpici кеңістікте белгілі бip зандылықпен таралған. Өpic бар кеңістіктің dV элементінің энергиясы , ал өpic энергиясының кеңістік бойынша таралуын оның тығыздығы арқылы сипаттауға болады, яғни электр өpici кеңістікте белгілі бip заңдылықпен таралған және кеңістіктің шекті бөлігін алып жата алады деген тұжырымға келуге болады.

(5.4.6)

(5.4.4) формуласы (5.4.2) формуласымен дәл келеді.

5.5. Электр өрісіндегі күштер. Зарядтардың өзара әсерлесетінін білeмiз. Олардың әсерлесу күшін принципінде Кулон заңын пайдаланып есептеуге болады. Бipaқ тәжірибеде кеңістікте белгілі бip заңдылықпен таралған электр өрісінің зарядтарға әсерін есептеуге тура келеді. Сондықтан берілген электр өрісіндегі зарядтарға ісер ететін күштерді қарастырамыз.

5.5.1. Нүктелік зарядка әсер ететін күш. Кеңістікте белгілі бip заңдылықпен таралған өpic болса, оны кернеулікпен сипаттауға болады. Осы өрістегі q нүктелік зарядка әсер ететін күш заряд орналасқан нүктедегі өрістің кернеулігінің мәні мен заряд шамасының көбейтіндісіне тең:

(5.5.1.1)

егер өpic біркелкі болса , онда нүктелік зарядқа әсер ететін күш тұрақты болады

(5.5.1.2)

5.5.2. Дипольге әсер ететін күш. Дипольдің анықтамасы бойынша, оның құрамына кіретін зарядтарға әсер ететін күштердің геометриялық қосындысы

(5.5.2.1)

Дипольдің иінi өте кіші шама болғандықтан оның аумағында өpic кернеулігінің өзгepyi әлсіз деп есептеуге болады, сондықтан екінші peттi аз шамаларды ескермесек (5.5.2.1) формуланы былай жазуға болады:

(5.5.2.2)

Сонымен дипольге әсер ететін күш тек біртекті емес электр өpiciнe ғана нөлден өзге және оның диполь осінің бойымен өзгеру жылдамдығына тәуелді. Егер өpic біртекті болса, , өйткені диполь зарядтарына әсер ететін күштер шама жағынан тең де, бағыттары қарама-қарсы. Сыртқы электр өрісінде дипольге оның центріне қарағанда күш моменті әсер етеді (5.5.2.1-сурет).

Tepic зарядқа әсер ететін күштің иінін анықтайтын вектор 5.5.2.1-сурет

F және екінші peттi аз шамаларды еске алмасақ.

(5.5.4.3)

Бұл формуладан сыртқы өріске қойылған дипольдің электрлік моменті өpic кернеулігінің бағытына параллель болуға тырысады.

5.5.3. Үзіліссіз таралған зарядқа әсер ететін күш. Өрісте орналасқан дене бойымен көлемдік тығыздыкпен таралған зарядка әсер ететін күшті табу үшін суперпозиция принципін пайдаланамыз. Ол үшін алдымен дененің элементіне әсер ететін күшті табамыз. Бұл элементтің заряды болғандықтан, оған әсер ететін күш:

Зарядталған дененің бірлік көлеміне, әсер ететін шама, яғни күштің көлемдік тығыздығы:

онда (5.5.3.1)

3.5.5.4. Диэлектрикке әсер ететін көлемдік күштер. Электр өрісінде орналасқан диэлектриктің бірлік көлеміне әсер ететін күшті табу үшін де, суперпозиция принципін пайдаланамыз. Диэлектриктің dV элементінің электрлік моменті -поляризацияланғыштық. Енді осы элементті диполь деп қарастырып, (5.5.2.2) формуланы қолдансақ:

(5.5.4.1)

Соңғы өрнектен диэлектрикке әсер ететін күштің көлемдік тығыздығы

(5.5.4.2)

Поляризацияланғыштық пен өpic кернеулігінің арасындағы қатынасын (5.5.4.2) формулаға қойсақ формуласын ескерсек

(5.5.4.2)

(5.5.4.2) формуланы алар кезде бiз диэлектриктің поляризациялану коэффициенті координатаға тәуелді емес деп есептедік. Бұл жағдай диэлектрик созылған және сығылғанда жеке молекулалардың поляризациялану коэффициенттері өзгермейтін диэлектриктер үшін орындалады. Мұндай шарттар көбінесе газдар мен сұйықтарда орындалады.

Сонымен үлкен екенін еске алсақ, сыртқы өріске қойылған диэлектрикке электр өpici кернеулігінің модулі жылдам өзгеретін жаққа қарай бағытталған күш әсер ететінін байқаймыз, нәтижесінде диэлектрик осы бағытқа қарай итерілуі керек. Заряд өткізгіштің бетімен таралды. Оның ds беттік элементінің заряды . Осы элемент орналасқан нүктедегі ds элементтен тыс жатқан зарядтардың өpic кернеулігі . Олай болса, . Өткізгіштің бірлік бетіне әсер ететін күш , -өткізгіш бетіне перпендикуляр жүргізілген бірлік вектор.

Негізгі әдебиет: [2]; [4]; [5].

Қосымша әдебиет: [1]; [3].

Бақылау сұрақтары.

1. Электростатикалық өріс энергиясы

2. Меншікті энергия.

3. Электр өрісіндегі күштер.