Дәріс 2. Тақырып : Электростатикалық өрістің потенциалдығы

Қарастырылатын сұрақтар: Скаляр потенциал, оның бір мәнді еместігі және нормалануы. Электр өрісіндегі жұмыс. Электр өрісіндегі жұмыс. Нүктелік зарядтың, нүктелік зарядтар жүйесінің және үзіліссіз таралған зарядтың потенциалы.

Дәріс мазмұны:

2.1. Электростатикалық өрістің потенциалдығы. Электростатикалық өpic потенциал өpic деп аталады, ceбeбi бұл өрісте нүктелік зарядты (зарядталған денені) бip нүктеден екінші нүктеге көшірген кезде істелетін жұмыс көшіру траекториясының түріне байланысты емес, тек бастапқы және соңғы нүктелердің координаталарына ғана байланысты (гравитациялық өріспен салыстыру керек).

Шынында, егер +q нүктелік заряд тудыратын электр өрісінде екінші бip нүктелік заряд +q' бip нүктеден екінші нүктеге ауысса, осы кезде істелетін жұмыс:

(2.1.1)

мұндағы мен векторлардың арасындағы бұрыш.

Соңғы өрнектен q' зарядты бipiншi нүктеден екінші нүктеге көшірген кезде істелетін жұмыстың қозғалыс траекториясының формуласына байланысты емес, тек соңғы және бастапқы нүктелердің координаталарына ғана байланысты екені көрініп тұр. Егер q' нүктелік зарядты екінші нүктеден бipiншi нүктеге басқа траектория арқылы көшірсек, бұл кезде істелетін жұмыс, болатынын байқау қиын емес.

Олай болса, электростатикалық өрісте нүктелік зарядты тұйық контурмен (траекториямен) көшірген кезде істелетін жұмыс нөлге тең:

(2.1.2)

Бұл шартты электростатикалық өрістің потенциалдығының шарты деп атайды. (2.3.2) формуланы (шартты) басқаша былай жазуға болады:

(2.1.3)

Кейде (2.1.3) формуланы электростатикалық өрістің потенциалдық шартының интегралдық түpi деп атайды.

Кез келген вектордан тұйық контур бойымен алынған интеграл сол вектордың циркуляциясы деп аталады. Сондықтан электроста­тикалық өрістің потенциалдығын оның циркуляциясының нөлге теңдігімен сипаттауға болады:

Енді (2.1.3) өрнегіне Стокс теоремасын қолдансақ:

(2.1.4)

(2.1.4) интегралы L контурға тірелген кез келген бет үшін нөлге тең болғандықтан (2.1.2-сурет):

Бұл теңдеу электростатикалық өрістің потенциалдығының дифференциалдық түрде жазылуы.

2.2.1. Скалярлық потенциал. Электростатикалық өрістің потенциалдығын (2.1.1) өрнектен жұмысты басқа бip шаманың айырмасы ретінде жазуға болатындығын байқауға болады. Шынында,

, мұндағы - екі нүктелік зарядтардың өзара әсерлесуінің энергиясы.

(2.2.1.1)

Соңғы өрнектен q^’ нүктелік зарядты бір нүктеден екінші нүктеге көшірген кезде істелетін жұмыстың осы заряд шамасына қатынасы тек q нүктелік зарядтың шамасына және одан жүргізілген радиус- векторлардың шамаларына байланысты екенін байқаймыз. Ендеше, q зарядтың туғызатын электростатикалық өрісін сипаттайтын тағы бір көмекші шама скалярлық потенциалды енгізуге болады.Бұл шаманы зарядтардың өзара әсерлесу потенциалдық энергиясының q^’ зарядына қатынасымен анықтайды, яғни

(2.2.1.2)

Ендеше .

Егер (2.3.1.2) өрнектің екі жағына да grad операторымен әсер етсек:

, яғни

(2.2.1.3)

Электростатикалық өрістің күштік сипаттамасы кернеулік пен оның энергетикалық сипаттамасы скалярлық потенциал φ өзара (2.2.1.3) өрнегімен байланысқан.

2.3.2. Скалярлық потенциалды нормалау. Сонымен скалярлық потенциал бip мәнді емес екен, оның екі нүктеге қатысты мәндерінің айырымының ғана физикалық мағынасы бар. Потенциалдың кез келген нүктедегі мәнін анықтау үшін, белгілі бip нүктедегі оның мәнін өзіміздің қалауымыз бойынша аламыз да, басқа нүктелердегі мәндерін осы мәніне қатысты анықтаймыз. Осы әдісті потенциалды нормалау деп атайды.

Мысалы, нүктелік зарядтың потенциалын нормалау үшін шексіздіктегі потенциалдың мәні нөлге тең деп есептеуге болады, яғни ұмтылғанда . Олай болса, (2.3.1.2) өрнектен const=0 екендігіне көз жеткіземіз. Сөйтіп, нүктелік зарядтың нормаланған потенциалы:

(2.3.2.1)

Осындай нормалауды электр өpiciн тудырып тұрған зарядтар кеңістіктің шекті бөлігін алып жатқан кезде де қолдануға болады.

2.3.3. Нүктелік зарядтың, нүктелік зарядтар системасының және үзілicciз таралған зарядтың потенциалы. Нүктелік зарядтың нормаланған потенциалы (2.3.2.1) формуламен анықталады.

Нүктелік зарядтар системасының потенциалын табу үшiн нүктелік заряд потенциалының формуласын және суперпозиция принципін пайдалану керек:

(2.3.3.1)

Бұл формуладағы - потенциалы анықталып отырған нүктенің радиус-векторы, - i-ші нүктелік заряд орналасқан нүктенің радиус-векторы.

Заряд белгілі бip көлем бойынша тығыздықпен үзіліссіз таралған болса, заряд таралған көлемнің әpбip бөлімін нүктелік заряд ретінде қарастыруға боларлықтай етіп өте кішкентай бөліктерге бөлеміз. Сонда, әр бөліктің заряды болады. Енді суперпозиция принципін пайдаланып және өте кішкентай көлемдер бойынша алынған қосындының шегі интегралға тең екенін ескерсек,

(2.3.3.2)

болып шығады.

Негізгі әдебиет: [1]; [2]; [4].

Қосымша әдебиет: [2]; [4].

Бақылау сұрақтары:

1. Скалярлық потенциал.

2. Электр өрісіндегі жұмыс.

3. Заряд потенциалы.