Розривні варіаційні задачі

Відповідно рівнянню Ейлера екстремаль подвійно диференцюєма, якщо . Якщо екстремум досягається на кусковогладких кривих або коли функція у функціоналі

має розриви. Перша задача зветься розривами першого роду, друга—другого роду.

Розривна задача першого роду. Хай екстремаль має розрив першої похідної у точці (рис.3.117). У точці зламу екстремаль повинна задовольняє умовам Вейерштрасса-Ердмана

, (3.118)

За якими визначається точка зламу, а екстремаль знаходиться розв’язанням рівняння Ейлера на кожної ділянці.

Рис.3.117 Рис.3.118

Розривна задача другого роду. Якщо функція має розрив вздовж деякої лінії (рис.3.118). Для розв’язання задачі необхідно знайти 4 постійних інтегрування рівняння Ейлера для і та абсцису точки стику . (3.119)

Варіаційна задача з однобічною варіацією. Для розв’язання такої задачі необхідно знайти функцію , яка доставляє екстремум функціоналу при граничних умовах , та додаткові умови (Рис.3.119). В цьому випадку варіації не допускаються. Для знаходження рівняння Ейлера переходять до нової змінної , яка задовольняє умовам , тобто , , фунціонал приймає вигляд , а рівняння Ейлера -- , тобто та . Таким чином екстремаль складається з кусків, які задовольняють границі області та рівнянню Ейлера (куски ).

Рис.3.119

Точки стику визначаються з умов стику , де належить відрізку . Умови неперервності -- , .

Варіаційна задача на умовний екстремум. Задача Лагранжа полягає у визначенні функції , яка надає екстремум функціоналу

при граничних , та додаткових умовах

Розв’язання цієї задачі виконується на основі рівняння Ейлера-Лагранжа , де , а та є множниками Лагранжа, які визначаються з системи рівнянь Ейлера-Лагранжа

Яка дозволяє визначити невідомих .

Перехід від некласичних варіаційних задач до класичних. Хай розглядається задача оптимального керування об’єктом про граничних умовах та обмеженнях на керування з точки зору критерію оптимальності , де вектор керованої величини, керуюча величина. Для переходу до класичної задачі вводиться вектор допоміжних рівнянь та допоміжне відношення , які дозволяють перейти від замкнутої області для до відкритої області для та .

Прямі методи варіаційного числення. Суть прямих методів варіаційного числення полягає у побудові послідовності функції , яка збігається до , а функціонал -- до деякого кінцевого значення..

1) Метод Ритця. При цьому послідовність , а задовольняють умовам лінійної незалежності. Функціонал стає функцією параметрів , які визначаються з умови .

2) Метод Канторовича. Використовується у тому випадку, коли функціонал залежить від декількох незалежних змінних, тобто . При цьому послідовність наближень обирається у вигляді де координатні функції, а функціонал перетворюється до нового функціоналу

3) Метод Ейлера. Виконується перехід до дискретного варіанту шляхом розбиття інтервалу часу на інтервалів тривалістю, тобто переходом до дискретної функції .