Решение. Рассмотрим отдельно два случая

Рассмотрим отдельно два случая.

Первый -вершина прямоугольника P лежит на боковой стороне трапеции CD.

Второй - вершина P лежит на основании трапеции ВС.

В первом случае обозначим стороны прямоугольника

|AQ|=x и |AK|=y.

Составим уравнение, связывающие неизвестные x и y.

Для этого проведем вспомогательный отрезок BL, параллельный стороне CD и рассмотрим два треугольника ABL и QPD.

Катеты этих треугольников равны соответственно

|AB|=8, |AL|=4, |QD|=10-x, |PQ|=y.

Искомое уравнение получается тогда из условия подобия треугольников ABL и QPD:

или y=20-2x.

Площадь прямоугольника AKPQ равна S(x)=x(20-2x).

Интервал изменения x в первом случае находится из условия, что точка Q - проекция точки P, лежащий на стороне СD, cледовательно, х 6.

Таким образом, задача свелась к отысканию наименьшего значения функции S(x) на промежутке [6;10]. Единственная критическая точка функции S(x): x=5 не принадлежит найденному промежутку.

Следовательно, производная функции S(x) не меняет на этом промежутке знак.

Вычисляя производную S(x) в произвольной точке промежутка [6;10], убеждаемся, что она отрицательна.

Таким образом, наибольшее значение S(x) достигается в левом конце промежутка, т.е. max S(x)=S(6)=48см²

x [6;10]

Площадь прямоугольников, относящихся по второму случаю, не превосходит 48см², т.к. при одинаковой боковой стороне равной 8см, длины их оснований не могут быть больше 6см.

Ответ: 48см²