Решение. Пусть периметр прямоугольника равен 2 а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет

Пусть периметр прямоугольника равен 2 а и одна из сторон прямоугольника равна х, тогда другая сторона будет

Диагональ прямоугольника - переменная величина, обозначив её через у, получим по теореме Пифагора у²=х²+(а-х)²,

или у²=2х²-2ах+а², откуда у= , где 0<x<a.

Исследуем функцию у= с помощью первой производной:

=

2х-а=0 х=

Значит, прямоугольник квадрат.

Знаменатель дроби положительный, поэтому достаточно исследовать только числитель: y’>0, если х> .

Производная меняет знак с минуса на плюс на плюс, следовательно, функция х= имеет минимум.

Таким образом, из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.

14. Цели:

• Повторить, обобщить и систематизировать знания о производной.
• Закрепить навыки нахождения производных.
• Проверить уровень сформированности навыка нахождения производных, способствовать выработке навыков в применении производной к решению физических задач.
• Развивать логическое мышление, память, внимание и самостоятельность.

Оборудование: Мультимедийный экран, карточки с тестами, карточки с задачами по физике.