Задача № 10. В круг радиуса а вписан равнобедренный треугольник. При каком соотношении сторон треугольник будет иметь наибольшую площадь

Решение:

Пусть АВС= , тогда по теореме синусов имеем АВ=2 sin .Далее из АDC СD = АD ctg = sin ctg = a sin a = a (1 + cos a).

Рассмотрим площадь треугольника как функцию переменной а (0 ):

S (a) = = sin a (1+ cos a) = (sin a + 0,5 sin 2a).

S` = (cos a + cos 2a) = (2cos² a + cos a – 1) =

= a² (cos a + 1) (2cos a – 1).

Т.к cos + 1> 0 ( (0: п)), то S` (a) = 0 при cos a = 0,5, откуда .

Если 0 < a < , то S` (a) > 0, т.е S (a) возрастает на

(0; ]. Если < a < , то S` (a) < 0, т.е. S(a) убывает на [ ; ) /

Итак, max S(a) = S ()

(0; )

Если d = , то треугольник равносторонний.

Задача № 11.

Вписать в круг радиуса R прямоугольник наибольшей площади.