Задача № 9. Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так

Из квадратного листа жести со стороной а требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы получить пирамиду наибольшего объема?

Решение. Пусть АВСD - данный квадрат, О - его центры и KLMN – основание искомой пирамиды. Обозначив через К расстояние от точки К до стороны АВ, выразим объем пирамиды как функцию x.

Получим:

Следовательно,

Функция принимает наибольшее значение одновременно с функцией .

Вычислим производную:

0<x<

В этой задаче промежуток содержит лишь одну критическую точку. Поэтому достаточно сравнить значение функции в этой точке со значениями на концах промежутка

Имеем, V(0)=V( =0

V( >0

следовательно, при х= функция V имеет наибольшее значение.

Таким образом, объём будет наибольшим тогда, когда диагональ её основания равна сторона квадрата.