Задача №7

Найти высоту конической воронки наибольшего объёма, если её образующая равна L.

Решение.

Объём конуса,

площадь основания которого равна S,

а высота- Н, вычисляется по формуле ,

где ²,

R - радиус окружности, лежащей в основании конуса.

По теореме Пифагора R и Н связаны равенством R²+H²=L².

Воспользовавшись этим равенством, выразим V как функцию только одной переменной Н

Решая уравнения находим две критические точки функции V(H): H₁+ H_2=-

Из которых точка H принадлежит промежутку (0,L). При переходе через точку Н₁ функция V^/(H) = ( L -3H²) меняет знак с плюса на минус, и, следовательно, на промежутке (0, ) функция V(H) возрастает, а на промежутке (; L)убывает.

Таким образом Н= -высота конуса максимального объема при заданной длине образующей L.