Решение. Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x, тогда длина другой стороны равна

Обозначим длину одной из сторон прямоугольника через x, тогда длина другой стороны равна .

Заметим, что 0<x<2R, т.к. x -длина хорды окружности радиуса R, отличная от диаметра. Следовательно, площадь прямоугольника .

Hайдем наибольшее значение функции S(x) на

отрезке [0;2R].

Имеем S’(x)=0, т.е. 4R²-2x²=0, откуда x₁=R и x₂=-R

Значит, надо сравнить значение функции при x=R и на концах отрезка x=0 и x=2R.

Т.к. S(0)=S(2R)=0, а S(R )=2R², то функция принимает наибольшее значение на [0;2R) при х=R . Поскольку наибольшее значение функции S(x) на отрезке [0;2R) достигается
в точке x= R .

При этом длина другой стороны прямоугольника равна , то есть искомым прямоугольником служит квадрат.

Задача № 12. Из всех прямоугольников данного периметра найти тот, у которого диагональ наименьшая.