Використання інтерполяційних формул для обчислення похідних

При решении практических задач часто нужно найти производные указанных порядков от функции y= . Возможно, что в силу сложности аналитического выражения функции непосредственное её дифференцирование затруднено. В этих случаях обычно используют приближённые численные методы дифференцирования функций. Идея всех методов численного дифференцирования функций сводится к замене исходной функции некоторой функцией , её интерполирующей (чаще всего полиномом или сплайном). Затем полагают: при . Если для интерполирующей функции известна погрешность , то погрешность вычисления производной функции может быть вычислена по формуле . Использование первой интерполяционной формулы Ньютона для вычисления производных функции Пусть имеем функцию , заданную в равноотстоящих точках . Введем переменную , тогда интерполяционная формула Ньютона примет вид:

(5.26)

или

(5.27)

Учитывая из (5.27) имеем

. (5.28)

Для вычисления второй производной, дифференцируя (5.28), получим

. (5.29)

Аналогично можно получить формулы для вычисления производных более высоких порядков.

Если производная функции вычисляется в точке , то, учитывая, что q=0, имеем следующие формулы вычисления дифференциалов функции f(x):