Використання рядів Тейлора. Оцінка похибки при використанні рядів Тейлора

Наиболее простым и достаточно эффективным способом приближения функций является использование формулы Тейлора для разложения функций в степенной ряд.

Пусть задана непрерывная функция , имеющая непрерывные производные до порядка включительно. Из математического анализа известно, что такую функцию можно разложить в окрестностях точки по степеням в ряд Тейлора:

, (2.1)

где - ошибка ограничения, связанная с заменой при вычислении бесконечного степенного ряда, первыми его n членами. Ошибку ограничения можно оценить по формуле:

. (2.2)

где x находится между и .

Формула Тейлора не только дает возможность организовать численный метод вычисления значений функции , но и оценить величину ошибки ограничения по формуле (2.2). При ее использовании от вычислителя требуется определить точку , в окрестностях которой будет производиться разложение функции. При выборе следует руководствоваться соображениями точности представления коэффициентов ряда (2.1) и величиной рабочего диапазона, внутри которого будут производиться вычисления.