Інтерполювання у випадку рівновіддаленихвузлів: друга інтеполяційна формула Ньютона

Первая интерполяционная формула Ньютона для x, расположенных далеко от , даёт малую точность. В этом случае обычно применяется вторая интерполяционная формула Ньютона.

Пусть имеем систему значений для равноотстоящих значений независимой переменной , . Построим интерполяционный полином следующего вида:

. (4.20)

Используя обобщённую степень выражение (4.20) запишем так:

. (4.21)

Задача состоит в определении коэффициентов , ,

таким образом, чтобы были выполнены равенства (4.13). Для этого необходимо и достаточно, чтобы

, . (4.22)

Положим в формуле (4.21). Тогда будем иметь:

. Далее берём от левой и правой части формулы (4.21) конечные разности первого порядка

.

В последнем выражении, полагая и учитывая соотношение (4.22), будем иметь: . Следовательно . Аналогично составим вторую разность от , получим:

Полагая , находим . Таким образом, . Характер закономерности коэффициентов достаточно ясен. Применяя метод математической индукции, можно строго доказать, что

, .

Подставляя эти значения в формулу (4.20), будем иметь окончательно:

.(4.23)

Формула (4.23) носит название второй интерполяционной формулы Ньютона. Введём более удобную запись формулы (4.23). Пусть , тогда , , и т.д. Подставляя эти выражения в формулу (4.23), получаем

, (4.24)

Вторая формула Ньютона используется для интерполирования функции в окрестности . Погрешность второй интерполяционной формулы Ньютона имеет вид:

. (4.25)

Замечание. Как первая, так и вторая интерполяционные формулы Ньютона могут быть использованы для экстраполирования функции, т.е. для нахождения значений функции для значений аргументов x, лежащих вне пределов таблицы. Ниже приводится схема использования формул.